( io63 ) 

 )> Cette hypothèse rejetée, l'expression suivante 



1 ('5 = L., L, --— — L.. -,— H- 1^1 L, -v^ — L, -r- 



(4) I "V ^'3? ' O.rJ '\ * Jr ' df 



\ — <if , Tj I H- 3 «2 L^ Lo — ^ '''3 T^ I L'^ + a ., Lil , 



à moins qu'elle soit identiquement nulle, est un invariant relatif de poids 

 égala 5. Il est f;icile d'en déduire une autre expression qui joue le rôle 

 d'invariant absolu ; elle est donnée visiblement par l'intégrale double 



/ vulxdy. 



dont les limites h et k sont à volonté. Toutefois, c'est par un mode de con- 

 struction bien différent que s'obtient le système des invariants proprement 

 dits de l'équation proposée. A cet etfet, il convient de remarquer que la 

 formule 



fait connaître un nouvel invariant, dont le poids est 7, et qu'à chaque in- 

 .variant i>,„, fonction entière des coefficients et de leurs dérivées, ayant pour 

 poids le nombre m, un autre invariant, de poids m + 2, correspond par la 

 relation 



/r\ T ài'ii, T ài'„i [ô\--, f)Li 



(6) V,,,.., =. L. _. _ L, ^' -+- m.,„ (^-^- - -^-' 



analogue à (5). Hormis des cas exceptionnels qui seront, si l'Académie le 

 veut bien, l'objet d'une autre Communication, les résultats indiqués per- 

 mettent de calculer deux invariants absolus distincts : ce seront, par 



exemple, les rapports -^j -^j lesquels, étant pris pour variables au lieu 



''7 ''s 



A^x et de j' dans l'équation (1), lui font acquérir une forme invariante ou, 

 si l'on veut, canonique. 



» Comme conséquence, les problèmes suivants sont résolus dans le cas 

 général : 



» 1° Etant données deux équations telles que (i), reconnaître si elles sont 

 réductibles Vune à l'autre par l'une des transformations (2) ; 



» 2° Obtenir les substitutions dont l'existence aura pu être établie. 



» Les coefficients de l'équation canonique sont manifestement des in- 

 variants absolus ; or il existe entre eux certaines relations indépendantes 

 des variables et caractéristiques, qui traduisent les propriétés assurées aux 



