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 où *(i, 2, 3, ... . jn — [) désigne l'ordre de multiplicité commun à tous les 

 points «j dont a exprime le nombre ( ' ). 



» L'objet de la présente Note est de montrer qu'on peut toujours et 

 d'indiquer comment on doit former les deux faisceaux projectifs généra- 

 teurs de la courbe unicursale C„, déterminée par de telles données, ce qui, 

 du même coup, confirme la proposition énoncée et en réalise l'application 

 dans les divers cas que l'on a à considérer ( -). 



)) II. La manière de constituer les faisceaux générateurs ne se présente 

 pas immédiatement à l'esprit. Sans offrir de difficultés sérieuses, elle exige 

 de l'attention, voire même un peu d'exercice et d'adresse, et repose sur 

 quelques principes et règles simples que je vais exposer. On conçoit, d'ail 

 leurs, qu'elle ne puisse être exprimée par une formule algébrique unique, 

 car l'analyse indéterminée ne fournit pas elle-même, sous une forme aussi 



(') Voir le beau Mémoire de M. Cremona, SuUe Iransformazioni geomelriche 

 délie figure plane. Bologne, i865. On y trouve les expressions algébriques de plu- 

 sieurs familles de courbes unicursales, caractérisées chacune par la forme du 

 nombre m relativement aux. modules 2, 3 et [\, mais il en existe beaucoup d'autres 

 dans chaque degré. J'ai fait connaître, dans mes Communications des 2 et 9 novem- 

 bre 188.5 {Comptes rendus, t. CI), puis, avec j)lus de détails, dans un Mémoire inséré 

 au Tome XXIV du Giornale di Matematiche du professeur Battaglini, un procédé 

 arithmétique permettant de les obtenir toutes, quelle que soit la valeur de m. 



{"-) Dans le Tome.LXlI des Comptes rendus, page 584, Chastes a donné ce théo- 

 rème, rappelé et démontré analytiquemenl par M. Hermite à la page 200 de son Cours 

 d'Analyse (*) : 



« Si une courbe C„, a i(»« — 'M"' — 2) points doubles, on peut déterminer ses 

 points individuellement au moyen d'un faisceau de courbes d'ordre m — i, qui ont 

 ,,; — 2 points doubles communs avec pareil nombre de points doubles de C,„ et 

 ]{i,i — 2) {m — 3) points simples coïncidant avec les autres points doubles de C,„ et 

 qui passent toutes par un autre point fixe de C„,. m 



Mais on ne peut se donner a priori une telle C,„, puisque tous ses points doubles ne 

 sont pas indépendants les uns des autres et ne peuvent être pris arbitrairement ("). 

 II n'en est pas de même lorsque ce nombre est atteint par équivalence; tous les points 

 multiples qui déterminent l'unicursalité de C„, peuvent être pris à volonté, et il y avait 

 là une question importante, qui me paraît n'avoir jamais été résolue, ni même abordée. 

 Le tliéorème précédent, concernant un cas particulier et conditionnel du problème 

 général, n'était pas moins un premier pas intéressant fait dans la question de la géné- 

 ration d'une courbe unicursale quelconque, qui fait l'objet de la présente Note et s'y 

 trouve résolue. 



(■) Voir aussi le Cours d'Analyse de M. Jordan, t. I. 

 ( ■■ ) Sauf lorsque m est égal à 3, 4 ou .'). 



