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générale, les données du problème, c'esl-à-dire la solution en nombres 

 entiers des relations (A). On ne saurait donc exiger davantage de la mé- 

 thode, quelle qu'elle soit, qui s'applique à la formation des faisceaux pro- 

 jectifs dont il s'agit. 



» Ce qui introduit souvent une difficulté, en apparence insurmontable, 

 dans cette formation, c'est l'insuffisance du nombre des points simples qui 

 figurent parmi les données. Comme trois de ces points doivent être réservés 

 pour établir la projectivité des faisceaux, tantôt il n'y en a pas assez même 

 pour ce seul objet ('), tantôt ceux qui s'y trouvent en excédent et dispo- 

 nibles ne suffisent pas pour déterminer les positions des points inconnus 

 qu'on est presque toujours obligé d'introduire dans les bases des faisceaux 

 pour résoudre la question (-). Lorsque cette nécessité se présente, il faut 

 donc recourir à une sorte d'artifice, consistant à regarder les conditions 

 données comme appartenant à une courbe C,„^_,, d'ordre plus élevé 

 que m, qu'on sache d'ailleurs devoir se décomposer en deux autres : l'une 

 C„„ qui sera la courbe demandée; l'autre C,, courbe auxiliaire ou adjointe, 

 dont on se donne arbitrairement les éléments et qu'on élimine après coup 

 du résultat final, de telle sorte qu'il ne reste que la C,„ cherchée. 



» D'ailleurs, et cela simplifie notablement la question, cette courbe ad- 

 jointe, toutes les fois qu'il est nécessaire de l'introduire, n'est jamais qu'une 

 ligne droite ou une conique, seules lignes algébriques jouissant de la 

 double propriété d'être à la fois générales dans leurs degrés respectifs et 

 unicursales (^ ). La condition, pour qu'une droite adjointe fasse tout entière 

 partie du lieu complet C,,,^.,, est que m + 2 de ses points soient communs 



(') Car, ainsi que je l'ai dit plus haut, il n y en a parfois que deux seulement. 



(-) Au sujet de ces points inconnus, voir V Essai sur la génération des courbes 

 géométriques et mes dernières Communications à l'Académie des Sciences, t. CV, 

 pages 917 et 971. 



(^) Ce sont aussi les seules qui ne puissent avoir de points multiples adventifs, con- 

 sidération décisive dans la question présente et dans celle qui a fait le sujet de mes 

 dernières Communications à l'Académie. On ne pourrait pas davantage employer des 

 courbes unicursales, de degré ni > 2, comme courbes adjointes. Car leurs points 

 multiples devraient être introduits dans les bases (contrairement à la règle formelle 

 énoncée ci-après); ils s'y trouveraient donc mêlés à ceux de la courbe proposée C,„; 

 les branches de celle-ci s'y croiseraient aussi bien qu'aux points singuliers qui lui sont 

 propres, et celles de la courbe adjointe, une fois l'opération qu'elle facilite terminée, 

 ne pourraient plus, comme il le faut pourtant, être éliminées du résultat pour ne 

 laisser subsister et ajjparailre (|ue celui qu'on se proposait d'obtenir grâce à son con- 

 cours temporaire. 



