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équation cubique ordinaire en X, à chaque valeur de laquelle correspoutleiit 

 deux valeurs de x, et qu'elle est normale ou régulière quand le dernier 

 terme de cette équation difière de zéro. L'équation est dite rcyidière ou 

 normale quand sa solution dépend du nombre maximum de racines déter- 

 minées, c'est-à-dire de trois paires de racines déterminées-, chaque paire 

 est alors connue comme fonction de 1, q, r et des paramètres h, r, d, e,/ 

 qui dépendent de ^ et r et sont définis au moyen du déterminant de 

 u-h i'Q -h wr (') qu'on a supposé être mis sous la forme 



u" -t- cîbm> -+- 2cmv -h dv- -i- 2evn> +/ii'', 

 d'où 



b=^Sq, c = Sr, d=^Tq\ f=Tre = S<jSr-S{V<i.Yr) ('). 



Dans ce cas, on peut dire que la solution elle-même est régulière. 



» En nommant I l'invariant de la forme ternaire, écrite plus hauf, c'est- 

 à-dire en posant 



\^df-^-ihce — h-j — c-d — e", 



nous avons trouvé que l'équation en \ peut être mise sous la forme 



e'^- I = o, 

 où 



c'est-à-dire qu'on aura 



4).'+(4c-4f/)A= -h {.[^he — l\cd+ c--J)\ + \ = o. 



» Ainsi, afin que la solution soit régulière, il faut et il suffit que I dif- 

 fère de zéro ( - ) . 



(') Par UQ oubli très regrettable nous avons pris, dans une Note précédente, pour !e 

 coefficient de ix-y dans la forme associée à 



[lip -\-vq -1- «•/• +...), 



S(V/>Vy) au lieu de sa vraie valeur, 



S/.Sî-S(V/.V./), 



et de même pour les autres coeflicionts des termes mixtes, de sorte que le calcul du déter- 

 minant du iiii'ellateiir 1p[ ]p' dans la Note sur l'achèvement de la solution de l'équation 

 linéaire en quaternions est erroné et a besoin d'être fait de nouveau. 



(-) Couséquemment, quand l'équation est régulière, ni y ni c ne peut devenir zéro; 

 car, dans l'uu et l'autre de ces deux cas, I = o; aussi, pour la même raison, ;• ne peut pas 

 être une fonction de y. 



