( 623 ) 



» De là il suit que, dans le cas d'une équation régulière, deux x ne 

 peuvent être égaux, à moins qu'ils n'appartiennent à la même paire ou 

 bien que deux X ne deviennent égaux; car x peut être exprimé comme une 



fonction linéaire de qr, y, r, i, dans laquelle le coefficient de qr est r • 



» Donc, si deux des a? sont égaux sans que deux X le soient, une équa- 

 tion linéaire subsistera entre pq^ p, q, i, mais dans ce cas nous avons 

 trouvé ailleurs que I = o, et la solution cesse d'èlre régulière. 



» Nous allons pour le moment nous borner au cas où l'équation est ré- 

 gulière, et conséquemment nous n'aurons qu'à considérer les cas où il y a 

 égalité ou entre deux racines de X ou bien entre deux valeurs de a; qui 

 correspondent à la même valeur de 1. 



» Si l'on suppose que deux valeurs de \ soient égaies, il en résultera 

 que deux des paires de valeurs de x deviendront identiques, de sorte 

 qu'une seule condilion suffira à réduire le nombre des racines distinctes 

 de 6 à 4î c'est-à-dire que les valeius de x, qui, en général, sont de la 

 forme m, m'; n, ri ; /j, />', deviendront de la forme m, m'; n, ri; n, Ji' . 



» Au lieu de calculer directement le discriminant de l'équation en >., 

 qui donnera un résultat 1res compliqué, nous allons montrer qu'on peut 

 substituer le discriminant de la forme très simple biquadratiqiie 



» Mais préalablement il sera utile d'opérer une transformation linéaire 

 sur l'équation en "k. 



» Écrivons >. = p. -f- d; l'équation en p. sera 



4/j.^-i-4(c-i-2^/)/j.- 



-+- [(c-f- 2dy--{- libe —Jjp. -\-2[>{c -H '2.d)e — b^J — e- = o. 



» On voit donc que le discriminant qu'on veut calculer est une fonc- 

 tion complète de b, c -+- 2(1, e, j. 



» Nous avons trouvé u'^1 — d-^ b-, c'csl-à-iiire p. ^ b' . On aura 



donc 



[xiâ-hl\{c + 2d-3b-)ri 



-h[i2b^— 8{c -h2d)b--i-{c-+- 2d i' + {libe —J)]ir 

 — [2.b^ — b[c + 2d)-i-e]- ('). 



( ' ) i( sera la partie scalar de .r si réquation est donnée sons la forme quaternionique, 

 ou bien la moitié de la somme dn premier et du quatrième élément de x si l'équation est 



