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 » Il s'ensuit que la condition nécessaire et suffisante pour l'égalité de 

 deux (les racines de l'équntion donnée avec deux autres est tout simplement 

 A ^ G, comme nous l'avons déjà énoncé. 



» Cherchons la condition pour laquelle les trois paires coïncideront 

 toutes dans une seule paire; alors les trois racines de [j. deviennent toules 

 égales, et l'on a non seulement 



A = G, 

 mais encore 



(i3/H^) — [cf'ii^ -\- f\be —J) = o, 

 c'est-à-dire 



f — [\be + 3 iii^ = o ou 5 =: G. 



Donc les condilions nécessaires et suffisantes, pour qu'il n'y ait que deux 

 racines distinctes chacune, |)rises trois fois dans la solution de l'équation 

 donnée, seront 



i' = G, t — o. 



On peut aussi demander quelle est la condition ou jjlutùt quelles sont les 

 équations de condition pour que deux racines de la même paire soient 

 égales. 



» Dans ce cas, nous avons trouvé que u = o\ cela exige quo le dernier 

 terme dans l'équation à ii'^ devieiuiezéro. On aura donc, eu vertu de l'équa- 

 tion en ?r, 



ne — "ibin -j- 26^ = o, 



c'est-à-dire que le sous-invariant gauche ou bien le j)reinier coefficient du 

 Hessien à la forme biquadratique s'évanouit. M;iis cela ne suffit |)as pour 

 que les deux x d'une paire deviennent parfaitement identiques. Il faut aussi 

 que les deux valeurs de v, qui correspondent à la valeur zéro de u, ou que 

 les deux racines de l'équation 



V' — 4>.((^+ c)4-7 — o, 

 où 



1 =: a = d — b', 



deviennent égales, c'est-à-dire que 



y + c- — ( 2 a -h c'- ) — o, 

 ou bien, puisque -^ = f — c'-, que 



f — {3iii — ïb'-y—o; 



