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 à celle équalion il faut joindre l'équation déjà trouvée 



ae — 3 hw H- 2 è' = o ; 



le système de ces deux équations pxpritne la conflition de la coïncidence 

 des deux x d'une paire. Quoique/ — (3m — ib- f = o ne soit pas en elle- 

 même un sous-invariant, les deux équations ci-dessus constituent (comme 

 elles doivent le faire) un plexus soiis-invnriantif ; car on trouvera 



( rt ô^ -+- 2 /; o„, -I- 3 m o^ -4- /, e Bj) [af — {"iam — ih^f] 



= [\{ae — "ibin -h 2/?^) — o. 



En effet, puisque/— {3m — ib-f no diffère de/ — 9/72-+ -nahe -h 65" m 

 (le second coefficient duHessien) que par — 2b{ae — 3 ''m + a/;*), ou peut 

 substituer, pour le plexus écrit plus haut, le plexus H, = o, H2= o, où H,, 

 Hj sont le premier et le second coefficient du Hebsien de la forme quadra- 

 tique. 



» Or il est f;icile de démontrer que, quand dans la forme [n, b, m, c, /) 

 [x, f) a n'est pas zéro, mais que les deux premiers coefficients du cova- 

 riant irréductible gauche le sont, le covariant s'évanouit complètement ('), 

 et la forme biquadratique a deux paires de racines égales. 



» On sait aussi que, quand les deux invariants irréductibles s'évanouis- 

 sent, il y a trois racines égales, et, quand en même temps les deux inva- 

 riants et le covariant gauche s'évanouissent, toutes les racines de la biqua- 

 dratique sont égales. 



)) Ainsi ou voit que les seuls cas d'égalité possibles entre les racines de 

 l'équation quadraTique donnée, quand sa solution est régulière, corres- 

 pondent aux quatre cas d'égalité entre les racines de la biquadratique ordi- 

 naire qui s'y est associée. 



» En prenant les quatre cas : 1° ou la quadratique a deux racines 

 égales; 2° ou elle a deux paires de racines égales; 3° trois racines égales; 

 4° toutes ses racines égales; alors la quadratique donnée aura, dans le 

 premier cas, deux paires de racines égales ; dans le deuxième, quatre ra- 

 cines égales; dans le troisième, trois paires de racines égales, et dans le 

 dernier cas toutes ses racines seront égales. 



(') QuanJ les deux premiers coefficients flu covariant irréductible gauche d'une biqua- 

 dratique binaire s'évanouissent, le discriminant s'évanouit nécessairement : nous avons 

 trouvé que ce discriminant i)ris négativement égale i6 fois le produit des coefficients 

 extrêmes, n:oins le produit du second et l'avant-dcrnier coefficient du covariant gauche. 



