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» Quant au rapport de la biquadratique binaire à la forme ternaire qua- 

 dratique, on passe de la seconde à la première, en se servant de la subsli- 

 lution dont s'est servi notre très honoré collègue, M. Darboux, dans sa 

 belle Notesurla résolution del'éciuation biquadratique [Journal de Liouville , 

 t. XVIII, p. 220). On n'a qu'à faire x — ir, j ~ -luv, z = c-, et la forme 

 ternaire passe dans la forme binaire biquadratique. On voit ainsi que les 

 genres de solutions régulières de l'équation en quaternions donnée dépen- 

 dent exclusivement de la relation entre la conique qui s'y est associée avec 

 la conique absolue j- — I\xz. Dans le cas le plus général, les deux courbes 

 se coupent en quatre points; dans les quatre autres cas, il y aura l'une 

 ou l'autre des quatre espèces de contact entre les deux coniques. 



» Mais, de plus, on voit évidemment que cette idée des deux coniques 

 peut être étendue à l'équation de Hamilton, même pour le cas où la solu- 

 tion devient irrégulière. 



» Dans ce cas, la forme ternaire, associée à l'équation x- -h qx -\- r, 

 perdra sa forme de conique et deviendra un système de deux lignes droites 

 qui se croisent ou de deux lignes coïncidentes. Dans la première supposi- 

 tion, il y atn-a le cas où les deux droites toutes les deux coupent et les cas 

 où l'une ou toutes les deux loucbent la conique fixe; il y aura aussi les cas 

 où la conique fixe passe par le point d'intersection des deux droites en les 

 coupant toutes les deux ou en en touchant une. Dans la seconde suppo- 

 sition, il y aura les deux cas où les droites coïncidentes coupent ou tou- 

 chent la conique fixe. 



» Ainsi donc il nous parait qu'on peut affirmer avec pleine confiance 

 que, dans l'équation de Hamilton ('), il y a exactement douze cas, ou au 

 moins douze cas principaux, à considérer (^). Nous devons cette méthode 



(M Quant à l'équation plus générale px^ + qx -)--/■= o, dans le cas où le iliscrimiiiant 

 ou le tenseur de p devient zéro et ijne, par conséquent, la forme ne rentre pas dans celle 

 de Hamilton (puisqu'on ne peut plus diviser l'équation par y?), il peut se présenter encore 

 un grand nombre de cas singuliers que nous n'avons pas encore étudiés à fond. 



(^) Cela donne lieu à une réflexion curieuse. Si l'on considère tous les genres de rap- 

 ports qui peuvent avoir lieu entre une vraie conique et une conique variable et capable de 

 dé"énérer en n'excluant pas les deux cas où la conique variable coïncide avec l'autre ou 

 s'évanouit tout à fait, le nombre de ces genres sera i4, qni est le nombre de doubles dé- 

 compositions du nombre 4, savoir : 



4: 3,i: i,-2: 2,1,1: 1,1,1,1: 3:i 2,1:1 1.1,1:1 2:2 1,1:2 1,1:1,1 

 ■?. : I : I 1,1:1:1 I : I ; 1 : 1 . 



De même on trouvera facilement que, pour le cas de formes binaires, le nombre de genres 



