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si simple de dénonihremenl à la connnissance que nous avons acquise (!ii 

 Mémoire ci-dessus cité de M. Darboux ('). 



» Mais ce qui plus est, on peut beaucoup simpHfier, comme on va voir, 

 la solution de l'équation quadratique/lr = px"- + qx h- r = o, 



» En regardant pour le moment x comme une quantité ordinaire, 

 soient Fx le déterminant de la matrice a:-y9 -+• xq + ret ipx un quelconque 

 des six facteurs quadratiques de Vx; alors tox:= o sera l'écpiation iden- 

 tique d'une des racines de yix = o, et ces deux équations, en éliminant x- , 

 donneront la valeur précise de celte racine (-). De même nous ferons voir- 



semblables sera 6, car, ayant sur une ligne droite deux points fixes et deux points variables, 

 ces derniers peuvent être distincts entre eu\-nièiues en coïncidant avec un ou tous les deux 

 ou avec ni l'un ni l'autre des deux premiers, ou bien ils peuvent être réunis dans un seul 

 point qui peut coïncider ou ne pas coïncider avec un des points fixes, et finalement ils peu- 

 vent disparaître; or le nombre de décompositions doubles du nombre 3, c'est-à-dire 



3 : ?. , 1 : 1 , 1 , 1 : 2:1 1,1:1 1:1:1 

 est aussi 6. 



Riais nous avons démontré autrefois, dans le Philosopldcnl Magazine, (juc pour le cas de 

 deux formes quadratiques de n variables dont chacune leste générale, c'est-à-dire n'a pasie 

 discriminant zéro, le nombre des genres de rapport est exactement le nombre de doubles 

 décompositions du nombre n. C'est une (piestion qui mérite d'être examinée, si cette iden- 

 tité entre le nombre de genres pour n variables dans le second cas avec celui pour le 

 nombre n — i dans le premier, reste vraie pour toute valeur de /.-. Une considération qui 

 s'y oppose, c'est que, dans le premier cas, quand [n — 1 = 1) le nombre de genres, 

 au lieu d'être 3 (le nombre de décompositions doubles de 2), n'est que 2, mais il peut ar- 

 river que pour ce cas (le cas d'une seule variilile), la forme générale étant la même que la 

 forme de coïncidence parfaite, ce genre doit compter pour deux, et ainsi la loi se main- 

 tiendra. 



(') On doit remarquer que le discriminant de l'équation eu X ou y. ou a- est le même 

 que celui de la biq\iadratique associée à l'équation donnée; en effet, l'équationen u. a pour 



ra-inesiî^llil+11 (îL±v){i_+^) (« + '?) (H- y) , , , ,,' . 



•^^ "'S* 7 » 7 — ' ; ' ou «, 3, 7, sont les racmes 



4 4 -\ 



de cette biquadratique; ainsi on peut dire que les six racines cherchées sont as-ociées res- 

 pectivement aux six côtés du quailrangle complet formé par les quatre puiiits d'inter- 

 section de la conique appartenant aux coeflirients de l'équation donnée avec la coni(|ue 

 absolue ) - — !\xz. 



On comprend que la l'orme appartenant ;i />, r/, /• vent dire le d.-tei minant de la matrice 

 '^P +J1 -*- ='' <l"i «st "!ie courbe dont l'ordre sera toujours celui des matrices //, tj, r. 



(-) Ainsi ou possède une méthode immédiate, et qui s'applique à tous les cas qui |)cu- 

 vent se prcscnler pour résoudre l'équation de Hamilton. L'analyse précédente suffit pour 

 en donner une d''monslr.illon qui a été pas'éi! dans le texte. 



