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CORRESPONDANCE. 



MÉCANIQUE CÉLESTE. — Sur des développements qui se rapportent à la dis- 

 tance de deux points et sur quelques propriétés des fonctions sphériques. 

 Note de M. O. Callandreap, présentée par M. Tisserand. 



« On connaît le bean résultat de Laplace appelé par M. Heine Théorème 

 d'addition des fondions sphériques : soit Z„ ce que devient le polynôme 

 X„(cos0) de Legendre qiiand on remplace cos 9 par 



on a 



cosô cosô'-l- sinô sinô' cos(7:' — ;:); 



Z„ = X„ X;, + — ^ 12b ^ sin Ô sin 0' cos [n' - n) 



+ ^ '•, ^ / 4^ ^sin*5sin«ô'cos2(7r'- ::)-[-..., 



où JC = cosQ et x'= cos5'; ce développement a été étudié en particulier 

 par Jacobi dans un Mémoire célèbre. Je me propose dans cette Note de 

 construire directement des développements de la distance de deux points 

 de la forme ci-dessus, ou même plus généralement des développements où 

 les cosinus des multiples de [n' — tu) seraient remplacés par des polynômes 

 P„[cos(;r' -- tt)], vérifiant une relation récurrente telle que 



cos(7i' — n) P„ = b„ P„_, ■+- c„P„+, . 



» Une remarque bien simple conduit à généraliser ainsi la formule de 

 Laplace : si l'on voulait la vérifier, il est facile de voir qu'il suffirait de 

 démontrer l'identité 



-~^ [ — sin 6' cos 6 -+- cos 0' &\nO cos( n' — n)] 



— ^\- sinecose'+ cos ô sine' cos (7T' — 7r)] = o, 



en représentant par Z„ le développement du second membre, et, pour cela, 

 on n'a qu'à ordonner le résultat suivant les cosinus des multiples de tt' — n 

 et à constater que les coefficients composés avec les dérivées de X„ et X'„ 

 sont identiquement nuls; dès lors on peut, en appliquant le même pro- 

 cédé, remplacer les cosinus des multiples p ir les tondions P„. 



