( -^^ ) 



désignant par g et h des constantes, que X vérifie l'équation linéaire du 



second ordre 



, „ , f/'X f/X , „ 



(x-— O-T-r -f-A'^r-r -1- /'X = o; 

 ^ ' a.c- ° d.c 



on aura, en différentiant n fois par rapport à x, 



sin'^^S - (^ + 2«)cos5'^ - [h + ng + «(« - ,)] '^ .. o 

 et de nièaie 

 ^i>'^9'^^ - [g + 2«)cos$' ^^^;^ - [h + «g + n{n - .)J ^- - o; 



de là, en combinant ces deux équations, 



sin"^'Ôsin"-^'5'cos5'(« + 2, «4-1) 



= [/, + ng + ti[n - i)] sin""' 5 sin"^' 0' cos5'(«, « -M ) ; 



d'une manière analogue, en prenant les deux équations différenlielles ob- 

 tenues en différentiant n — i fois, 



sin"^' Q COS0 sin"+* Q'[n-\-i, n) 



_ [„4.2(«- i)]sin"-'9cos^Ôsin''^'6'(«,M) 



_ \fi 4_ („ _ i)^. + [n " i)[n- 2)"Jsin"-' cos9 sin"^ ' 0'{n - i , «) = o. 



» En substituant dans la condition trouvée la valeur précédente de 



sin''^'5sin"-^'Ô'cos(;'(" + 2, « -h i), 



et comparant à la dernière équation écrite, on voit qu'elles seront compa- 

 tibles en supposant 



A„ 4- A„+, A„+, f/,-^-/^g + ^^(/^-l)] _ 



«A,, 



I ff + 2 1 " — ' ) 



h + [n — \]s+[n — i][>i 



c'est-à-dire lorsque la condition, simple et remarquable, 



g -\- n — 2 <-',i^ri+l 



sera remplie, et alors les coefficients A se déduiront de 



A . . fi' + " — 2 



G. R., 18S4, 2" 5em«frc. (T. XCIX., N» t.) 



