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 » Le résultat précédent contient, comme on devait s'y attendre, tout ce 

 qui est relatif à l'addition des fonctions sphériques en général (voir l'Ou- 

 vrage de M. Heine, Handbuch der Kugetfunktionen) . » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE.— Sur tes fonctions Iwlomorphes de genre quelconque . 

 Note de M. E. Cesauo, présentée par M, Hermite. 



« Considérons une fonction holomorphe, du genre w, à facteur expo- 

 nentiel constant et n'admettant que des racines réelles a,, a^, a^, . . . dif- 

 férentes de zéro. On sait que les racines de la fonction dérivée sont 

 données par l'équation 



/i 



qu'il est permis d'écrire ainsi 



" Z«r'(=-««) " Z«r" 



n n 



car, par la définition du genre, la série du second membre est conver- 

 gente. Appelons 2[j. -+- 1 celui des nombres w, w -(- i, qui est impair. Si l'on 

 fait abstraction de ajx racines nulles, l'équation dérivée peut toujours être 

 mise sous la forme 



■1.1 



= o, 



n 



c étant une constante réelle. En remplaçant z par x + if, on obtient 



n n 



» La seconde somme étant positive, on doit avoir j- = o. Ainsi, la fonc- 

 tion dérivée a toutes ses racines réelles. D'après cela, la dernière équation de- 

 vient 



c + 



S^ 



IJ-1-1( 



» Lorsque x croît d'une racine à la racine suivante, le premier membre 

 varie de -t- co à — oo , en décroissant constamment, car sa dérivée est né- 

 gative. Eiitre deux racines consécutives de la Jonction considérée, il existe donc 



