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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la règle de Newton pour trouver le nombre 

 des racines imaginaires des équations algébiiques numériques; par M. de 



JONQUIÈRES. 



« I. Une équation algébrique, rationnelle et numérique, étant donnée, 

 on peut, seion l'objet qu'on se propose : 



» 1° Avoir besoin de connaître le nombre exact de ses racines imagi- 

 naires, ainsi que leurs valeurs numériques; 



» 2" Se contenter de savoir si elle en possède; 



» 3° Vouloir déterminer une limite inférieure du nombre de ces racines. 



» II. Sturm a, le premier (en 1829), découvert une solution complète 

 de la détermination des racines réelles d'une équation numérique donnée, 

 et de son théorème, justement célèbre, découle la connaissance du nombre 

 exact des racines imaginaires de l'équation. 



» Si la théorie pure était ici en cause, j'aurais d'autres noms à citer 

 après le sien : MM. Sylvester, pour son beau théorème de iSSg ('); Her- 

 mite, pour ses grands Mémoires de i855 à iSSy, et pour une méthode 

 nouvelle de détermination du nombre des racines réelles, qui en est comme 

 la conclusion (-); Cayley, Brioschi, Kronecker, etc., pour leurs profondes 

 recherches sur les fonctions de Sturm (*); Darboux, pour l'important Mé- 

 moire où il fait ressortir, avec de nombreuses conséquences, le lien qui unit 

 les théorèmes de Sturm, de Sylvester et d'Hermite, en prenant pour point 

 de départ la méthode de ce dernier géomètre, démontrant de la sorte, 

 sans aucune considération de continuité, le théorème de Sturm (*); La- 

 guerre, pour son travail sur les équations numériques, l'un des plus impor- 

 tants et des pi us remarquables parmi tous ceux que je viens de mentionner, 



(') ÉDoncé dans le Philosophical Magazine (i83g), démontré par Sturm dans le Journal 

 de Mathématiques, t. VII, et par Borchardt dans le tome XII du même Recueil. Il a pour 

 objet de faire connaître l'expression algébrique des fonctions de Sturm en fonction des ra- 

 cines de l'équation. 



( ^ ) Journal de Crelle, 



(^) Les Mémoires de ces illustres savants ont paru dans divers Recueils. M. Hattendorff 

 les a résumés tous dans un Ouvrage récent. On trouve aussi une excellente exposition du 

 théorème de M. Sylvester et des travaux de M. Hermite dans le Cours d'Algèbre supérieure 

 de M. Serret (t. I, 3° édition, p. 58i). 



(•) Bulletin des Sciences mathématiques, t. VIII (iS^S), p. 56 et 92. 



