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 où se trouve une solution différente et nouvelle de ce problème difficile ('). 

 Mais, au point de vue pratique où je me place, le théorème de Stiirm suffit 

 quand il ne s'agit que du nombre des racines imaginaires. Quant à ce qui 

 concerne la séparation et le calcul de ces racines, M. O. Bonnet, prenant 

 pour point de départ le fameux théorème de Cauchy, qui domine toute la 

 théorie des équations {*), a, par un habile mélange de considérations géo- 

 métriques et algébriques, donné une solution, aussi complète qu'élé- 

 gante ['•'), de cette question difficile, dont Cauchy n'avait fait que tracer 

 les grandes lignes, dans une Note faisant suite à ses Leçons sur le Calcul 

 différentiel. 



n Ces diverses méthodes, qui présentent d'ailleurs des degrés divers 

 dans la facilité de leur application au Calcul numérique, répondent donc 

 complètement à la première des trois questions ci-dessus, et forment la 

 base inébranlable de l'édifice algébrique dans cette partie de la théorie 

 générale des équations. 



» III. Pour répoudre à la deuxième question, l'Algèbre fournit d'assez 

 nombreux pronostics, dont quelques-uns n'exigent que la simple inspection 

 des signes et des valeurs numériques des coefficients [*). Il y a des cas, 

 selon l'objet qu'on se propose, où ces indications immédiates suffisent; 

 mais il s'en présente d'autres où une plus grande précision est nécessaire, 

 sans qu'il faille néanmoins recourir aux méthodes exactes, mais nécessai- 

 rement moins simples, de la première catégorie. On trouve alors de pré- 

 cieuses ressources parmi celles qui répondent à la troisième question. 



» IV. Il y en a plusieurs : les unes, dérivées de la Règle des signes de 

 Descartes, et, avant tout, cette Règle elle-même; les autres, fondées, en 

 général, sur la condition à laquelle satisfont les coefficients d'une équa- 

 tion du second degré dont les racines sont imaginaires, combinée avec la 

 nature des signes de ces coefficients. 



» Parmi ces dernières, la Règle de Newton me paraît occuper le premier 



( ' ) Journal de Mathématiques ( 1 883 ) . 



(*) Sur ce vaste sujet, on peut consulter un intéressant Mémoire de l'abbé Moigno dans 

 e tome V du Journal de Mathématiques ; plusieurs articles de M. Abel Transon dans le 

 tome VII (■2° série) des Nouvelles Annales de Mathématiques, etc. 



( ' ) Nouvelles Annales de Mathématiques, t. XII. 



('•) Voir les Traités d'Algèbre. M. le professeur Colombier en a réuni plusieurs dans un 

 Mémoire inséré aux Nouvelles Annales de Mathématiques pour i868, etc. Il y a lieu de 

 citer aussi divers travaux de M. Prouhet, de M. Guilmin et du P. Poulain dans les Nouvelles 

 Annales de Mathématiques, ainsi que de M. Faà de Bruno dans le Journal de Liouville. 



