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 rang. Avant Newton, Du Gua ('), après lui, Campbell (-), Maclaurin ('), 

 Euler (*), et plusieurs géomètres modernes, en ont présenté d'autres, dont 

 plusieurs reposent sur les mêmes principes et semblent n'avoir pour objet 

 que (le la perfectionner. Toutefois, comme elles ne tendent vers ce but 

 qu'en la compliquant plus ou moins, sans en tirer d'ailleurs autre cliose 

 que ce qu'elle donne elle-même, je veux dire une limite inférieure du 

 nombre des racines imaginaires, et qu'en outre elles ne reposent pas 

 sur des démonstrations solides, c'est, en somme, à la règle de Newton qu'il 

 semble convenable de donner la préférence, car elle concilie l'exactitude 

 avec la plus grande simplicité comparative. 



» En voici l'énoncé, tel que Newton l'a donné dans le chapitre de son 

 Aïilhmetica u?u'uersrt/îs intitulé : « De natura equalionum ». 



» Règle. — Écrivez la suite des fractions dont les dénominateurs soient les nombres i, i, 

 3, 4) • • • jusques et y compris m [m marquant le degré de l'équation proposée), et prenez 

 pour leurs numérateurs respectifs les mêmes nombres écrits dans l'ordre inverse. 



■> Divisez chacune de ces fractions par celle qui la précède immédiatement, et écrivez 

 les quotients fractionnaires ainsi obtenus au-dessus des termes intermédiaires de l'équation 

 compris entre le premier et le dernier (en ayant soin de tenir compte de ceux de ces 

 termes qui manquent et auxquels vous affecterez le coefficient zéro). 



» Au-dessous de chacun des termes intermédiaires de l'équation, écrivez le signe -\-, 

 si son carré multiplié par la fraction qui le surmonte est plus grand que le produit des 

 coelficients des termes entre lesquels il est compris (en tenant compte de leurs sij;nes). 

 Écrivez au contraire, le signe — , si le carré dont il s'agit est moindre que ce produit. 



» Si plusieurs coefiicients nuls se succèdent sans interruption, placez le signe — sous le 

 premier de cette séquence, le signe + sous le deuxième, et ainsi de suite alternative- 

 ment, en ayant soiu toutefois de donner toujours le signe -+- au dernier d'entre eux, si les 

 ternies qui comprennent la séquence ont des signes contraires. 



» Enfin écrivez le signe + sous le premier et le dernier terme de l'équation. 



» Autant vous compterez de variations dans cette suite de signes + et — , autant (au 

 moins) l'équation aura de racines imaginaires. 



» V. Comme les fractions multiplicatrices, dont cette méthode fait usage, 

 peuvent être calculées une fois pour toutes pour chaque valeur de m et 

 réunies dans un tableau dressé à l'avance, on voit que la règle de Newton 

 fournit un moyen simple et rapide de résoudre la question proposée. 



» Cela étant, on s'étonnerait que, pendant prés d'un siècle, elle soit 



(') Méinoiies de l'Académie des Sciences; 1741 . 



(-) Pliilosoj/hical Transuciiuns, n° 404 ; 1726. 



(3) Ibid., u" 408. 



(*) Calcul dijféieiuiel d Euler. 



