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tombée dans un tel abandon, qu'on ne la trouve presque jamais citée par 

 les auteurs qui ont publié des travaux originaux sur les équations numé- 

 riques ou des livres destinés à l'enseignement (')» si l'on ne savait que les 

 géomètres du siècle dernier (qui s'en étaient beaucoup occupés) n'en 

 avaient proposé aucune démonstration satisfaisante (Newton d'ailleurs 

 n'en donnant aucune), et que, par suite, il était permis de ne pas oser 

 s'appuyer sur elle pour des recherches exactes. 



» A la vérité. Newton termine le Chapitre où elle est exposée en disant : 

 Il ptures eiiiin [r^àices impossibiles) (') esse possuut, licet id perrarô eve- 

 NiAT », et cette dernière aifirmation du grand géomètre, aussi connu par 

 sa réserve que par sa modestie, était de nature à en rehausser le crédit. 

 Toutefois comme, en Mathématiques, on veut posséder la certitude, 

 l'abstention que j'ai remarquée était justifiée jusqu'à un plus ample in- 

 formé. 



« VI. Ce motif n'existe plus depuis que M. Sylvester a démontré la 

 règle de Newton et donné, à cette occasion, un théorème et même deux 

 théorèmes plus généraux. M. Genocchi a fait paraître, en 1867, une 

 démonstration profonde et rigoureuse des théorèmes de M. Sylvester, 

 d'après les principes et en suivant la marche indiquée par l'illustre géo- 

 mètre ('). 



» Le moment paraît donc venu de tirer la règle de Newton de l'espèce 

 d'oubli dans lequel elle a été laissée si longtemps. Elle mérite d'être con- 

 nue et pratiquée au même titre que sa méthode d'approximation pour 

 l'évaluation des racines, et bien mieux encore, puisque les indications 

 qu'elle donne, sans aucun artifice de calcul, sans aucune préparation 



(M Sauf M. Genocchi, qui en a donné un énoncé (sous une autre forme que celle de 

 Newton) dans les Nouvelles Jnnales de Mathématiques pour i858, et ([ui l'a démontrée, 

 d'après M. Sylvester, dans un article inséré eu 1867 dans le même Recueil, à l'occasion d'un 

 théorème de cet illustre géomètre, d'où on peut le déduire, M. Laguerre est, à ma connais- 

 sance du moins, le seul géomètre qui l'ait citée « comme étant importante », et qui en ait 

 fait usage dans un Mémoire inséré aux Acta matlicmatica de 1\I. Mittag-Leffler, 4 : 2 (i884). 

 Toutefois on m'informe que M. Petersen la cite dans son Tiaité d'Algèbre. 



(^) C'est ainsi que Newton les appelle. Avant lui, on disait : falsœ, aujourd'hui on les 

 nomme imaginaires, locution qui ne vaut guère mieux que les deux autres. 



(^) Nom'elles Annales de Mathématiques (t. VIT, 3° série, 1867 ), p. 5. 



C'est à des recherches du même genre que celles de M. Sylvester dont il est ici ques- 

 tion que paraissent se rattacher les travaux distingués publiés, en i883, par M. André 

 dans les Annales de l'École Normale et dont les Comptes rendus ont donné un bref résumé. 



