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 pour débarrasser l'équation de ses racines égales, ni autre, souvent même 

 sans aucun calcul écrit, sont toujours rigoureusement vraies. Elle peut 

 rendre d'utiles services. Pour n'en citer qu'un exemple, elle indique, à 

 première vue, que les qtiatre racines d'une équation célèbre, qui joue un 

 rôle essentiel dans le Mémoire de Le Verrier sur la théorie de la planète 

 Uranus('), sont imaginaires, et aurait dispensé l'illustre auteur des cal- 

 culs plus compliqués auxquels il a dû se livrer pour le reconnaître avec 

 certitude. 



» Ce cas est un de ceux, très fréquents selon Newton, nombreux selon 

 l'expérience qu'on en peut faire, où la limite que la règle fait connaître 

 est aussi le maximum du nombre des racines imaginaires que le degré de 

 l'équation comporte, où, par conséquent, elle donne, non plus seulement 

 une limite inférieure, mais le nombre exact de ces racines. 



» Vil. Pour justifier plus complètement une préférence définitive en sa 

 faveur, il reste un point à éclaircir : la limite inférieure qu'elle fait con- 

 naître n'est-elle jamais plus basse que celle fournie par la règle de Des- 

 cartes qui, rigoureuse comme elle, a, dans l'application, l'avantage d'une 

 simplicité encore plus grande? 



» Il me paraît n'exister à cet égard que de fortes présomptions, fondées, 

 d'une part, sur ce que, à ma connaissance du moins, l'expérience con- 

 firme toujours ou sa supériorité très fréquente (-), ou au moins son éga- 

 lité, et, d'autre part, sur la considération suivante : 



( ' ) Cette équation est la suivante : 



579'jx' + 495 i.r' + 5892 x- -+- 2876 J^ + 6942 = o. 

 L'application de la règle de Newton donne, à vue et sans calcul, la suite des signes 



qui dénote avec certitude quatre racines imaginaires, dont M. Koralek a calculé les valeurs 

 exactes par une méthode qui lui est propre [Nouvelles Annales, i854). 



Je n'ignore pas que, dans ce cas, il existe accidentellement des pronostics, très simples 

 aussi, qui conduisent à la même conclusion; mais il est plus sûr d'avoir à sa disposition 

 une règle constante et facile, propre à tous les cas, sans surcharger la mémoire de plusieurs 

 autres qui sont d'une application fortuite, réservant toujours, bien entendu, la méthode 

 de Sturm pour les cas où, la précision absolue étant requise, il arrive que la règle de 

 Newton ne la procure pas. 



(-) Ainsi, pour l'équation citée plus haut, la règle de Descartes indique la possibilité de 

 quatre racines réelles (négatives), tandis que celle de Newton affirme (ce qui est) qu'elles 

 sont toutes les quatre imaginaires. Je pourrais donner beaucoup d'autres exemples sein- 



