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» Les indications données par la règle de Descartes reposent seulement 

 sur l'examen des signes des termes de l'équation; celle de Newton fait 

 entrer en ligne de compte, outre ces signes, les valeurs numériques des 

 coefficients, et elle fait intervenir les uns et les autres d'une façon analogue 

 à celle qui sert de critérium démontré pour les équations du second 

 degré. 



» La conclusion est donc 1res vraisemblable ei probable, mais il faudrait 

 la justifier rigoureusement. Il y a dans cette recherche de quoi tenter utile- 

 ment les géomètres qui cultivent avec succès cette branche de l'Algèbre, et 

 je me permets de la signaler à lein- pénétration. 



» Dans une prochaine Communication je compléterai, en ce qui con- 

 cerne la découverte de M. Sylvester et d'après des investigations que j'ai pu 

 faire en dernier lieu, les indications historiques, trop brèves, que j'ai 

 données plus haut (VI). Ce sera pour moi une occasion nouvelle d'insister, 

 avec l'appui de cette haute autorité scientifique, sur l'importance de la 

 recherche que je me permets de signaler aux géomètres et sur les diffi- 

 cultés qu'ils doivent s'attendre à y rencontrer. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation en matrices px = :vq ; 



par M. Stlvester. 



« Soient/^ et q deux matrices de l'ordre oj. 



» Pour résoudre l'équation px ■= xq, on obtiendra w- équations homo- 

 gènes linéaires entre les co* éléments de l'inconnue x et les éléments de p 

 et àeq, de sorte que, afin que l'équation donnée soit résoluble, les élé- 

 ments de^ et àeq doivent être liés ensemble par une et une seule équa- 

 tion. 



» Mais, si V équation identique en p est écrite sous la forme 



pO. ^ B^o^l _^ Qp^-2 ^ , _^. i^ ^ 



biables. Je me bornerai au suivant. Soit 



x^ — x'^-)- 3ar* — x^ -t- 3x^ — .r-f- 2 = O 

 l'équation proposée, dont toutes les racines sont imaginaires. 



La règle de Descartes indique la possibilité de six racines réelles, positives. Celle de New- 

 ton signale, à peu près sans calcul, l'existence de six racines imaginaires. Si l'on voulait 

 recourir à la méthode de Sturm, on serait conduit à des calculs très pénibles, les coeffi- 

 cients de la quatrième seulement des six fonctions à obtenir ayant déjà cinq chiffres chacun . 



