( 0-^ ) 



on aura apparemment, en vertu de l'équation p = xqx~\ 



x(fx-* + B^rry"-' x'^ H- Cx q"'^- x' + . . . H- L = o 



ou bien 



B^" 



Cq' 



donc les w racines de q seront identiques avec celles de p et, au lieu d'une 

 seule équation, on aura en apparence [au moins) w équations entre les élé- 

 ments de p et deq. 



» Pour faire disparaître ce paradoxe, il n'y a qu'une seule supposition à 

 faire : c'est que x, sous les suppositions faites, devient inie matrice vide, 

 car alors j:~' n'a plus luie existence actuelle, et l'équation p = xqx~* 

 n'aura pas lieu ; c'est ce qu'on va voir arriver dans te cas général, où 

 px = xq. 



» Pour fixer les idées, supposons u = i et faisons 



» En égalant yojj à xq, on obtient les quatre équations simultanées et 

 homogènes entre >., [)., v, tt suivantes : 



[a — a)l -+- c^j. — |3v + 07r^o, 

 bl -h {d — «)p, -t- ov — pTî = o, 



— -jl -+- o [J. -{- {a — ^)V + CTT = o, 

 Ol -h yiJ. + èv + (<■/ — S) TT =r O, 



et conséquemment on aura 



b^c- -+- [3^7^ — 2bc(iy — 2abcd— la^-jl -+- [bc + ^j"i)[a ■+- d){a. ■+■ l) 

 -bc[a?-h P) - ^.-i{a- -^ d'-) + at{a- ^ d-) 



ladoà 



a^ 



■ô-— (a -\-d)[a -\-l)[ad-ha.l) = o, 



ou, en écrivant a + c/ = B, ad— bc = T>, y. -h o = C, ao — /3y = F, 



(D-F)=+(B-C)(BF-CD) = o; 



c'est-à-dire, si R est le résultant de X- — Bx + D, X- — Cx -h F, R = o 

 sera la condition générale de la possibilité de satisfaire à l'équation 

 px = xq. 



» Il est facile de faire voir que ce résultat peut être étendu au cas gé- 

 néral où p et q sont des matrices de l'ordre w : on n'a qu'à démontrer que 



