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 si une des racines latentes de /j est égale à une àeq, l'équaiion/^a? ^j: 17 est 

 résoluble et de plus, sans que cette condition soit satisfaite, l'équation 

 est irrésohible. Soient donc \^,'k..^ . . ., \, les racines latentes de |3 et /j.,, 

 p.2, . . ., fJ-M de q et supposons que X, = [x, alors 



■\ h 



{p — l,)x = x{q — [J., 

 et l'on peut satisfaire à cette équation en écrivant 



X={p--l,){p-\,)... {p-\,){q -ix.,)[q - lJ-s)-..{q~ u.^). 



» Conséquemnient, si les racines latentes de/) et de^ sont les racines des 

 deux formes algébriques X" -h BX""' + . . . + L, X"-)- Cx'*"' + . . . + M, 

 quand R (le résultant de ces deux formes) s'évanouit, le résultant des 

 w^ équations homogènes linéaires obtenues en égalant px = xq s'éva= 

 nouira ; mais Rest indécomposable et du même degré (w^) que ce dernier 

 résultant dans les éléments de p et <^. Conséquemnient les detix résultants 

 (à un facteur numérique près) sont identiques: ce qui démontre que la 

 condition R = o est non pas seulement nécessaire, mais de plus suffisante 

 afin que px = xq soit résoluble. 



» Pour ce qui regarde la valeur de .r, posons x = UV, où 



U =(/) ->,)(/) -X3)... (/)-).„); Y = {q-iJ.,){q -iJ.,)...{q- fxj, 



le seul fait quex contient U comme facteur ou que x contient V comme 

 facteur suffit à constater que x n'est pas seulement vide, mais de plus 

 possède au moins w — r degrés de nullité, c'est-à-dire que tous ses déter- 

 minants mineius du second ordre sont des zéros. 



» Cela est la conséquence d'un théorème que j'ai démontré dans le 

 John Ilopkins Circular relatif au degré de nullité des combinaisons des 

 fadeurs latenls d'une is)atrice dont le théorème relatif à Véqualion dite 

 identique de Cayley ou de Hamillon n'est qu'un cas particulier, ou pour 

 mieux dire le cas extrême; seulement il faut y ajouter un théorème qui 

 fait partie de ma troisième loi de mouvement algébrique, c'est-à-dire 

 que le degré de nullité d'un facteur ne peut jamais excéder le degré de 

 nullité du produit auquel il appartient. 



» Nous avons donc complètement résolu le paradoxe qui était à expli- 

 quer. Mais, sur-le-ch;inip, une nouvelle contradiction surgit, car il sendile 

 que nous avons démontré que, dans loul cas sans exception, si px =xq^ 

 jc est nécessairement une matrice vide, ce qui est évidemment faux, ca,. 



C. R., iSSii, 1° Semestre. ( T. XCIX, N" 'i.) I O 



