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 on sait bien que, si, « étant de l'ordre rie p el de q, q = \ ip, alors, afin que 

 l'équation px = .vp soit résoluble, il n'est jamais nécessaire que x soit 

 vide. Ainsi, par exemple, pour les matrices binaires, l'équation qx = xq 

 est satisfaite quand x est une fonction quelconque de q, et l'équation 

 qx^ — xq est résoluble, pourvu que ^* soit svalar, en imposant deux 

 conditions (dont une que son carré soit scatar) sur x. Pour lever cette 

 contradiction, revenons au cas où w = 2 et aux équations fondamentales 



{a — (/.)1 -h c i>. — |3v =0, 

 bl + [d — u)iJ. — /St: =0, 



— 'fk + [a — o)v — en = o, 



— Yp. + Av 4- (rf — 0)7: = o. 



» Certes, si ces équations donnent des valeurs déterminées aux rajiports 

 >., fji, V, 7:, le raisonnement précédent rend certain que x doit être vidé, 

 c'est-à-dire que "kn — p.v = o,mais cette conclusion devient fausse aussitôt 

 que p i'i q sont pris tels que ces rapports deviennent imiéterminés, ce qui 

 arrive quand tous les premiers déterminants mineurs de la matrice 



s'évanouissent simultanément. 



» Dans ce cas, quoique la solution générale qui donne x vide tienne bon, 



rien n'em!)éche qu'il n'existe d'autres valeurs dea;, c'est-à-dire de ^t pour 



y K ^ 



lesquels cela n'est pas vrai. 



» La matrice écrite en haut doit posséder et possède, en eflét, la propriété 

 remarquable que, en su|)primant une ligne horizontale quelconque et en 

 nommant A, B, C, D les quatre déterminants mineurs de la matrice 

 rectangulaire qui survienr, affectés de signes convenables, la quantité 

 AD — BC contiendra le déterminant complet comme facteur. Il sera peut- 

 être utde, avant de conclure, de doiuier un exemple d'un genre nouveau 

 de subsistance de l'équation px = xq avec une valeur finie du détermi- 

 nant de X. Faisons donc 



a — c? := o, d — a. ^ o, hc — p-y ^ o, 



