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^' Soient y^ et /„ les ynleurs d'une intégrale / et de sa dérivée — 



pour z=: z^; soient ji et ^', les valeurs de cette même intégrale / et de sa 

 dérivée pour z=:z,; il est aisé de voir que y, tit/', sont des fonctions ra- 

 tionnelles dey„ et y^, et réciproquement. Ainsi les deux surfaces de Rie- 

 uianii 



(*o) f(zo J, %) = o, 



où Zf, et z, sont regardés comme des constantes, et où les variables sont j" 



dy , , « 1 1 



et —■> ont non seulement même genre, mais encore mêmes modules. 



Lis modules de la surface de Riemaiin représentée par l 'équation ( i ) sont donc 

 constants et indépcndunts de z. 



» Cela posé, ou bien la surface S, ne pourra dériver de la surface Sq par 

 une Iransformalion birationnelle que d'un nombre fini de manières; dans 

 ce cas, on pourra déterminer ces transformations, et par conséquent l'inté- 

 grale générale de l'équation (i) par des procédés purement algébriques: 

 cette intégrale sera donc algébricjue; ou bien les deux surfaces poiu'ront 

 dériver l'une de l'autre par une infinité de transformations birationnelles, 

 ce qui signifie que l'une d'elles, Sq par exemple, sera reproduite par une 

 infinité de pareilles transformations. Mais cela ne peut jamais avoir lieu 

 si /) > I . Dans le cas de p = i , on retrouverait d'ailleurs aiséînent le résul- 

 tat énoncé plus haut. 



» En résumé, on peut tirer du beau théorème de M. Fuchs les consé- 

 quences suivantes, en laissant de côté le cas de y? = o, complètement traité 

 par le savant géomètre de Berlin. 



« Si les conditions énoncées par M. Fuchs sont remplies pour une équation 

 du premier ordre, et si p ^^ i , t'é(juation est intécjrable par quadratures. 

 Si p'^ i , l'intégrale eil algébrique. 



» Il serait intéressant de rechercher si, dans le cas des équations d'ordre 

 supérieur, on arrive à des théorèmes analogues, ou si, au contraire, on est 

 conduit à une classe essentiellement nouvelle d'équations intégrables p;ir 

 les fonctions fuchsiennes. » 



C. R., 1884. 2' Semestre. (T. XCIX., N» S.) I I 



