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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur deux théorèmes de M. Sylvesler 

 et sur la Règle de Newton (' ) ; par iM. du Jonqdières. 



« VIII. C'est, je le répète, à M. Sylvester que revient l'honneur d'avoir 

 découvert la âémonstratiou complète de la Rècjle de Newton, car ce qu'en 

 avaient dit quelques mathématiciens du siècle dernier (aucun d'ailleurs ne 

 s'en étant occupé avant lui dans celui-ci) était loin de mériter ce nom, 

 comme Waring en faisait déjà la remarque (voir Meditationes algebrnicœ, 

 Partie IX, p. 4^, édition de 1782). Toutefois il n'y était pas parvenu tout 

 d'abord. L'illustre géomètre communiqua à la Société royale de Londres, 

 dans sa séance du 7 avril 1864, un Mémoire fort étendu (87 pages), intitulé : 

 Bechercliessurla Pèyle de Newton; mais, malgré des investigations profondes, 

 où les travaux de M. Hermite sont plus d'une fois cités et mis à contribu- 

 tion, il ne parvenait à le démontrer que pour les cinq premiers degrés, 

 ce qui, pour le dire en passant, suffirait, au besoin, i)our montrer la diffi- 

 culté du sujet. M. Sylvester ne devait pas d'ailleurs s'en tenir là longtemps; 

 car, des le 19 juui i865, il avait découvert If secret tie cette règle et, qui 

 plus est, sa généralisation C-), et en donnait connaissance dans une séance 

 de la Société malhémalique, au Collège de l'Université, à Londres; bientôt 

 après, le 28 du même mois, il en faisait le sujet d'une lecture publique au 

 Collège Roval, initiant ses nombreux auditeurs aux méthodes diverses qu'il 

 avait successivement employées pour démontrer diiférents cas particuliers 

 de la règle précitée, jusqu'à ce qu'enfin il eût aperçu clairement l'origine 

 du théorème et de sa généralisation, exprimée par un théorème, ' qui est. 



(') Foii une première Comiminicalion à ce sujet dans les Comptes rendus du i5 juillet 



1884. 



(■-) Dans la démonstration de ce théorème i;<'-iiéral, l'une des deux suites que l'on a à 

 considérer pour comparer finaleraeni les nombres de variations de signesquis'y produisent 

 pour des valeurs de x comprises entre deux limites données se compose de fonctions dont 

 le second terme est multiplié par une fraction dans laquelle (igure une indéterminée com- 

 mune à toutes. C'est cette indéterminée qui, entre autres choses, donne à la mélhodc de 

 M. Sylvester une importance et un caractère particuliers. Lorsqu'on fait cette indéterminée 

 égale à — m, on est facilement conduit aux fractions multi[)licatrices de Newton. Le troisième 

 théorème de M. Sylvester contient même deux telles indéterminées, ce qui lui donne un 

 caractère encore plus grand de genér.ilile. 



