( Il/l ' 



qu'en signalant aux géomètres un point à éclaircir dans cette importante 

 question, je ne leur proposais pas un problème inférieur à leur talent. En 

 les conviant à des recherches nouvelles sur un terrain déjà fouillé si pro- 

 fondément par M. Sylvester, mais qui n'est peut-être pas épuisé, je me 

 suis couvert de sa haute autorité pour donner à ma requête un crédit 

 qu'elle ne pouvait tirer de moi seul. 



» Il me reste encore à appeler Irur attention sur un autre point con- 

 cernant, non plus une comparaison entre la Règle et d'autres mé- 

 thodes tendant au même but, mais certains cas singuliers de la Règle 

 même. Quoi qu'il en soit, le théorème de Newton est désormais placé au- 

 dessus des rares nuages qui peuvent subsister encore ("). Depuis la dé- 

 monstration que M. Sylvester en a donnée, en même temps que celles 

 de théorèmes plus généraux, de l'im desquels elle n'est qu'un sin)ple 

 corollaire, la Règle de Newton, « cette merveilleuse et mystérieuse 

 Règle », comme l'appelle M. Sylvester dans son grand Mémoire de 1864, 

 est devenue et restera, aux mains des géomètres, un instrument simple, 

 commode, exact, souvent précieux en ce qu'il peut, dans mainles circon- 

 stances, dispenser de toute autre méthode (-). Si j'ai réussi à faire partager 



de Newton el celle de Descartes, et en quoi consiste ce que Newton a ajouté au précepte de 

 son immortel devancier. 

 Soit, par exemple, 



Fractions multiplicatrices '- i 



Équation proposée x^ — 5.^^+ i i.r ~ i5 = o 



Signes des termes de la suite (G) + — — -+- 



La suite (G) présentant deux variations et une permanence, l'équation a au moins deux 

 racines imaginaires, et au plus une racine réelle; ce qui, vu le degré 3 de l'équation, in- 

 dique qu'elle a précisément deux racines imaginaires et une racine réelle. La règle de Des- 

 cartes indique ici la possibilité de trois racines réelles. 



(') Ce n'est qu'avec une grande réserve que j'énonce ce simple doute, qui ne porte 

 d'ailleurs que sur un cas particulier du texte même de Newton et non sur les théorèmes de 

 son illustre successeur et commentateur. 



(2) J'en ai présenté un exemple au § VIII, en nota. En voici un second, un peu moins 

 simple : 



Fractions multiplicatrices. . . i_I__2_ 2 l_E-_î-i 



Équation proposée 3.c'— 2.r"-f- œ'-l- iia;=— 4ox'-)- Sj-*— ^G^c^— 56i-=— 8a: — 4S = o 



Signes de la suite (G) _|-__(-_|_ _(. _j__|_ _|_ 



La Règle de Newton indique donc l'existence de trois racines réelles et de six racines 

 imaginaires ; ce qui est exact. Celle de Descartes indique hpossibilité de neuf racines réelles, 

 savoir cinq positives et quatre négatives. 



