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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la soUilio7i (la cas le plus général des équa- 

 tions linéaires en quantités binaires, c'est-à-dire en quaternions ou en matrices 

 du second ordre ; par M. Sylvester. 



« Soient/?, q deux matrices d'un ordre donné et servons-nous du sym- 

 bole p[ )q pour signifier l'opérateur, lequel, appliqué à une autre matrice a; 

 du même ordre, donne pxq. 



1 Alors, si l'on pose 



(px sera une mjilrice dont chaque élément sera une fonction linéaire des 

 éléments de x; conséquemment, en supposant que les matrices p, q sont de 

 l'ordre w, on parvient ainsi à une matrice de l'ordre w^, et conséquemment 

 ç sera assujetti à une équation identique de l'ordre w"; disons F ~ o. 



» Je vais donner la valeur de F pour le cas où « = 2, c'est-à-dire où F 

 sera une fonction du quatrième degré. Supposons que P et P' sont deux 

 quantics du second ordre dans les deux systèmes de variables x,, cc.^, . . ., 

 œ„; ^,, Sj, . . ., ^„ coniragradients. Alors, si l'on représente par P' ce que 



devient P' quand on écrit 5^_, S^^, . . , t?,.^ au lieu de ^,, ^2» • • • ? !«» (P')'- P' 

 sera un invariant du système donné pour toute valeur de /. 



)i Considérons le cas où V = ax--i- bxy -h cj'^ et V=c/.^'^-\- fi^Y] H-yyj^. 



Dans ce cas, on trouvera que |[(P')'P^ — 4(P'-P)"j sera identique avec 

 le résultat de ax'- -{- bxy + cy^, yx^ — ^xy + a;? ', de sorte qu'on peut 

 le nommer le contra-résuttant des formes («, è, c), [a, /3, y). Je nommerai 



donc, en général, l'invariant |[(P')'P- — 4(P''P)'] le quasi contra-résultant 

 des deux formes P, P' quand elles contiennent un nombre quelconque de 

 variables. 



Or, en revenant à l'expression 9, nommons P le déterminant de 



Ufp, -+- ii^Pi-^ . . . + Unp„+ o.v 



et Q le déterminant de 



«I ?) + «2^2 4- ... -H U^qu - V, 



où <p, pour le moment, est traité comme une quantité ordinaire. J'ai trouvé 

 que le quasi contra-résultant de P, Q, quand 9 appartient à des matrices 



