( ,flG ) 



luils, ou [)lutôt à écrire sous ces coefficients des sigiiesalternatifs — et +, 

 propres à produire le plus grand nombre possible de variations, concorde 

 avec un théorème bien connu (' ). Mais il n'en est pas de même du second 

 cas, qui paraît avoir été encore peu étudié. Newton se borne à donner, 

 sans coinmentaiie aucun, lU) exemple numérique où celte exception se 

 rencontre, et il tranche la question, ipso facto, en écrivant le signe — sons 

 le terme ambigu, ce qui lui fournit l'indication de deux racines imaginaires, 

 tandis que l'adojjtion du signe + aurait eu pour effet de n'en signaler au- 

 cune dans une équation qui en possède quatre. 



» XI. D'après cet exem|)le, on pourrait èlre tenté de croire qn't'U 

 pareil cas il fadle toujours attribuer au teriae ambigu, soit le signe — , 

 comme l'ont écrit les rédacteurs de VAlcjèbre posllnime de Mactatirin (-'), 

 soit le signe qui produit \e plus (jrand nombrede variations dans la suite (G), 

 connue le supposent d'autres auteurs. 



Je dirai dans un instant quelle est la vraie règle à suivre, mais je veux 

 auparavant montrer qu'en suivant l'une ou l'autre des deux directions 

 qui précèdent, on ferait fausse route. 



» Pour fixer les idées, soit d'abord l'équation très simple 



Fiactions miilti|)licairices ', i 



Équation proposée r' — 3x- + 3.r — i =: o, 



Signes de la siii/f (G) -+ ± rb + 



où le cas ambigu se présente deux fois. Si l'on prenait le signe — sous le 

 second terme, ou sous le troisième, ou sous les deux, la suite (G) indique- 

 rait deux racines imaginaires dans une équation qui, manifestement, a 

 ses trois racines réelles. On a donc là un avertissement que les deux pré- 

 ceptes ci-dessus ne sauraient être adoptés. 



/) Comme l'on ne demande à la Règle de Newton que d'uidiquer une 

 limite inférieure du nombre des racines imaginaires de l'équation, on serait 

 bien assuré de ne lui faire doiuier aucun pronostic erroné, en adoptant le 

 principe qu'en cas d'ambiguïté on prendrait toujours celui des deux 

 signes -+- ou — qui donnerait lieu au moindre nombre de variations de 

 signes dans la suite (G). 



(') Consulter notamment l'article précité de M. Guiimin dans le t. V (1846) des Nou- 

 velles Jniialcs de Mtitlicniatitiues, p. aSg, 



(^) A Ti enlise of Algcbrn in three parts, etc., by Colin Maclaurin, llie tliird édition. 

 Londoit, 1773. Le précepte dont il s'agit y est formulé, page •274» •^n e<^s termes : . . . but 

 if tliiit product is not <^ieiitt:r thnn tite rectangle, ivrite. . . , etc. 



