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 » Mais celte conclusion, qu'on pourrait appeler timorée, ne ferait pas 

 rendre à la Règle de Newton tout ce qu'elle peut donner rigoureusement. 

 )) Soit, par exemple, l'équation 



Fractions multiplicntriros '^ \ \ | 



Équation proposée 3x'' — S-c'-i- no.r^ — aS.j- + ij.x — 12 = 0. 



Signes de la suite (G) -+- — rt — — -I- 



» Il y a ambiguïté sous le troisième terme et si l'on adoptait le signe — , 

 d'après la solution prudente qui vient d'être énoncée, la suite (G) indique- 

 rait deux racines imaginaires au moins, tandis que le signe -t- annoncerait 

 les quatre que possède l'équation. 



» XII. Les principes sur lesquels repose la méthode Sylvesler permet- 

 tent heureusement de trancher la difficulté. On pourrait d'abord calculer, 

 dans chaque cas particulier, la valeur de la fonction quadratique ambiguë, 

 en donnant une valeur autre que — m (mais non comprise entre — i et 



— m) à l'indéterminée [7. qui entre dans la composition des fractions multi- 

 plicatrices dont cette méthode fait usage. Cette valeur, qui était nulle quand 

 ]j. était égal à — ni, serait alors différente de zéro, et le signe de la (onc- 

 tion ambiguë se trouverait déterminé. Mais, sans recourir ainsi à la mé- 

 thode Sylvester pour résoudre chaque cas en particulier, il est aisé d'en 

 tirer une règle générale, propre à tous les cas. 



» En effet, si l'on prend pour valeur de |x, dans l'expression des frac- 

 tions multiplicalrices de Sylvester, qui est 7^= - — — — (/' désignant le rang 



de la fonction quadratique J^'— yr-f,-t 'jr+\i compté à partir de la pre- 

 mière dérivée/^', dans l'ordre ascendant des dérivations), une quantité 



— {m 4- e), différente de celle, — m, qui correspond à la Règle de New- 

 ton (et par conséquent donne lieu, sinudtanément, aux mêmes cas d'ambi- 

 guïté), mais d'ailleurs compatible avec les conditions de la question et no- 

 tamment avec celle qui exige que fx ne soit pas compris entre — i et — wz, 

 il est évident que les valeurs de ces fractions ne feront que décroître au fur 

 et à mesure que e croîtra. Eu d'autres termes, si petit qu'on fasse e, les 

 valeurs de ces fractions, comparées à ce qu'elles étaient pour fx = — /w, 

 seront devenues moindres après le changement de /x. En particulier, la 

 fraction 7^, qui rendait le produit 7^./^_,.yr+i égal à /.% sera devenue 

 7',<^ 7^, et, par suite, on aura 



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