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 Donc enfin, dans le cas singulier dont il s'agit, quel que soit le nombre 

 de fois qu'il se présente, consécutivement ou non, dans la suite des fonc- 

 tions quadratiques, 



» C'est toujours le signe + qu'il faut prendre comme signe de la fonction am- 

 biguë. 



» Cette conclusion, en ce qui touche à la limite inférieure du nombre 

 des racines imaginaires de l'équation, n'est d'ailleurs pas sujette à l'objec- 

 tion que le changement effectué dans la valeur de p. et qui a déterminé le 

 signe de la fonction ambiguë pourrait produire des changements de 

 signes parmi quelques-unes des autres fonctions quadratiques. Car ces 

 changements, s'ils avaient lieu, n'auraient jamais pour effet de substituer un 

 signe — à un signe + préexistant, donc de troubler, dans le sens d'un 

 exhaussement exagéré de la limite cherchée, l'indication donnée par l'af- 

 fectation du signe h- au terme ambigu, ni même d'établir une compensa- 

 tion dans le cas où la limite s'en serait trouvée abaissée. 



» Le précepte ci-dessus démontré concorde avec celui que, dans le 

 cours de sa démonstration du théorème Sylvester, M. Genocchi énonce, 

 sans explications, en ces termes : « Tous les raisonnements qui |)récédent 

 » subsistent, si quelques-unes des fonctions sont identiquement nuWes ; il 

 suffit qu elles soient censées positives ( ' ) » . 



XllI. Ainsi se trouve éclairci le cas douteux auquel j'ai fait allusion 

 dans ma dernière Communication. Rien ne s'oppose donc à ce que la 

 Règle de Newton, si éminemment pratique, s'introduise dans l'enseigne- 

 ment (''),sauf peut-être à n'en pas rendre la démonstration obligatoire, si 

 elle est jugée un peu longue et difficile. 



{^) Nouvel/es J?inates de Mathématiques [iB&i], t. VI, 2'= série, p. i3, lignes 3 et 



suivantes. 



{^)0n pourrait alors sirapliûer, comme il suit, l'énonce de la Règle : 

 Règle de Newton. — Étant donnée l'équation aigébriijue numérique 



A„^'" + A,^"'-' 4- A,^'«-2 + . . . + A,x'--)- . . . 4- A„, = G, 



on calculera les valeurs numériques de la fonction quadratique 



>,..A,. — A,._,.A,.+i (r=o, I, 2, . . ., ra), 



et l'on écrira sous le terme A,..».' le signe + si la valeur de la fonction est positive ou 

 nulle, le signe — si elle est négative, et le signe + sous les termes k„j:"' et A,„. 



Autant cette suite de signes présentera de variations, autant, au moins, l'équation aura 

 de racines imaginaires. 



;i m — r] 



Le coefficient ),,. a pour expression )>,. ^ 



-f- /« -h 1 



