( '(h) ) 



» A cet égard, il ne me semble pas inutile de placer ici, en terminant, 

 un exemple (numérique en ce qui concerne l'exposant m) qui aidera à 

 mieux comprendre certains points de la transition entre la méthode de 

 Sylvester et celle de Newton. 



» Soit donc m =^ 7 dans l'équation ci-dessus. 



» Les fractions multiplicatiices de Newton (dont il suffit d'ailleurs de cal- 

 culer la première moitié, puisqu'elles se reproduisent toujours en ordre 

 inverse dans la seconde moitié) soni, dans ce cas. 



T> 0' 5> 5' u' !• 



L'une quelconque des fonctions quadratiques dont on a ensuite à déter- 

 miner le signe, la deuxième par exemple, se présentera sous la forme 



l-A^-A.A^. 



Il s'agit de montrer qu'on arrive au même résultat, à un facteur numé- 

 rique près, en faisant usage de la méthode Sylvester. 



» Les fractions multiplicatrices y sont données par la formule 



m + I — >• 



Ir— » 



car, pour passer de celte méthode à celle de Newton, il faut y faire d'abord 

 l'indéterminée p. égale à — m. Ces fractions, qu'il faut calculer toutes, 

 sont donc 



C» 5» if 3> 



Quant aux fonctions quadratiques, elles se composent avec les dérivées suc- 

 cessives de l'équation, dans lesquelles on fait jc = o, prises dans l'ordre 

 inverse des dérivations. Donc, ici où l'on a pris la deuxième fonction de 

 Newton, on doit, pour avoir la correspondance cherchée, prendre la 

 (7 — a)"""' ou la cinquième fonction de Sylvester, qui est, en mettant en 



relief le facteur commun 2.3.4 , 



2.3.4.(5»A^-|.5.6.A,A;,) = 2,3.4 .5.g.{lA:- A, A,), 



résultat identique à celui que donne la méthode de Newton, au facteur 

 2". 3^.4^.5.9 près. C'est ce qu'il fallait prouver. 



