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rendu à la mémoire d'un homme de génie, de même qu'à celle de la noble 

 dame qui, par son exemple, a démontré que la plus belle moitié du genre 

 humain peut avoir, pour les hautes Sciences, des aptitudes égales à celles 

 de l'autre moitié qui, modestement, veut bien s'appeler le sexe fort. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Nombre exact des variations gagnées ou perdues 

 dans la multiplication du polynôme J{x) par le binôme x'^ ± a. Note de 

 M. D. André, présentée par M. Hermite. 



« J'ai fait connaître, il y a six mois, deux théorèmes qui donnent le 

 nombre exact des variations qu'on perd ou qu'on gagne lorsque l'on mul- 

 tiplie un polynôme quelconque y(ir) par le binôme x ± c/.. Je viens de 

 trouver un théorème nouveau, qui comprend les deux précédents, et qui 

 donne ce même nombre lorsque l'on mulliplie/(a;) par x'^ ± a.. 



» Ce nouveau théorème est susceptible de denx énoncés : l'un analytique, 

 analogue à ceux que j'ai donnés déjn, et fondé sur la considération de 

 groupes élévateurs ou abaisseurs; l'autre géométrique, reposant sur la con- 

 sidération d'une ligne brisée que j'appelle le contour représentatif du 

 polynôme /{x). Faute de place, je ne donnerai que ce dernier, qui est, 

 dans la pratique, le plus commode des deux, et qui s'étend immédiatement 

 à la multiplication de deux polynômes, entiers et de degrés quelconques, 

 en X et en a. 



X Soit f{x) le polynôme à multiplier par x'' -\- y.. J'écris l'un sous 

 l'autre, comme si je multipliais, les deux produits partiels de la multipli- 

 cation àe f[x) par a:* + i ; puis, je compte le nombre des variations que 

 gagnerait le premier produit partiel, si j'élevais jusqu'à lui les termes du 

 second qui n'ont rien au-dessus d'eux : je trouve ainsi le nombre des va- 

 riations inévitables. 



» Quant à l'ensemble des deux produits partiels, abstraction faite des 

 puissances de x., il nous offre, de gauche à droite, une suite de couples, 

 constitués chacun par deux coefficients superposés, et qui ne peuvent 

 présenter que ces huit formes : 



A 

 B 



» Les couples des six premières formes ne contiennent chacun qu'un 

 seul des signes -f- ou — : ce sont les couples de la première espèce. Les 



