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 couples des deux dernières formes contiennent chacun ces deux signes : 

 ce sont les couples de la seconde espèce. 



» Pour construire le contour représentatif du polynôme f[x), je trace 

 sur un papier : d'abord, une suite d'ordonnées verticales équidistantes, 

 correspondant aux différents couples; ensuite, tout au bas, une horizontale 

 qui servira ù'axe des abscisses; enfin, tout au haut, une nouvelle horizontale 

 qui sera la droite de l'infini. Sur chaque ordonnée correspondant à un 

 couple de la première espèce, et au point où cette ordonnée coupe la 

 droite de l'infini, je marque le signe unique de ce couple. Sur chaque 

 ordonnée correspondant à un couple de la seconde espèce, et avec une 

 échelle suffisamment petite, je porte, à partir de l'axe des abscisses, une 



• A 

 longueur égale au rapport positif -; et, à l'extrémité supérieure de cette 



longueur, je marque le signe qui précède A. J'obtiens ainsi un nombre 

 total de points égal au nombre total des couples et marqués chacun d'un 

 signe + ou — . Ces points sont les sommets du contour; pour en avoir les 

 côtés, il suffit de joindre le point placé sur chaque ordonnée au point placé 

 sur l'ordonnée suivante. Ces côtes sont de deux sortes : ceux qui joignent 

 deux signes pareils; ceux qui joignent deux signes différents. Pour les 

 distinguer, je trace les premiers en trait plein, les seconds en pointillé. 



» Le contour considéré s'obtient, on le voit, très facilement, très vite, 

 et pour ainsi dire sans calcul. Il dépend évidemment du polynôme /"(x), 

 de l'exposant h, du signe qui précède a, mais nullement de la valeur nu- 

 mérique de ce nombre. Pour faire intervenir cette valeur, je tire l'horizon- 

 tale CK, c'est-à-dire l'horizontale située à la hauteur a au-dessus de l'axe des 

 abscisses. Cette horizontale coupe, en général, plusieurs côtés du contour, 

 les uns pleins, les autres pointillés, et noire nouveau théorème peut s'é- 

 noncer ainsi : 



» Théorème. — Lors(iiie l'on multiplie le polynôme J {^x) par le binôme 

 x'' -f- a, où a est positif, le nombre des variations que l'on gagne est juste égal 

 au nombre des variations inévitables, plus te nombre des côtés pleins coupés par 

 r horizontale «, moins le nombre des côtés pointillés coupés par cette même hori- 

 zontale. 



» Si, au lieu de multiplier par x''-{- a, on multipliait par x'' — a, il fau- 

 drait, pour construire le contour, se servir des produits partiels de la 

 mulliplication par x'' — i. L'énoncé précédent subsisterait alors sans au- 

 cune modification. 



