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Maintenjint je multiplie les deux membres de l'équatitMi jj;ir le facteur 



5 et je rais 1 intégration a partir de :■ = o et en suivant un chemin qui 



n'entoure pas foniplètement le point z = \ . Cela doiuie le résultat sui- 

 vant : 



log(, ~z) + ^ log(. - z-n -f- ?^ log(. - z^} + ... = - -^, 



où If s logarithmes sont délermiiif-s par la condition (jue leur partie ima- 

 ginaire soit comprise entre les limites et ^ — • Or, en passant aux 



fonctions exponentielles, d'abord de cette équation, puis, en second lieu, 

 après l'avoir multipliée par l'unité négative et en faisant, vu la définition 



donnée des iogariilunes, 



on obtient les deux représentations suivantes de la fonction exponentielle 

 par un produit infini convergent : 



O'S ( 9 (31 z 





Or considérons les limites des arguments des quantités "- — et — - — , 



pour lesquelles subsistent les deux représentations. En posant s = a; + /^-, 

 on a 



z ' ' I I — X- — r'^ 3. iy 



I — : ■> 9.(i — a .<• 4- ^2 + )■- ) o.fi — 2.;- 4- .r--4- J--J 



Donc, parce que x--\-j'^<^i^ la partie réelle de ^^— est reniermée 



entre les limites i et — îc ; pareillement la partie réelle de l'expression 



— "—1 entre — 5^ et -h ^ , la partie imaginaire n'étant assujettie à aucune 



restriction. 



» On parvient à la même conclusion par une considération géométrique 

 élémentaire, comme cas particulier du fait qu'à chaque cercle décrit par 

 la variable z et passant par le point z = i correspond une ligne droite 



