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■> La variable z étant figurée par tui pnnt dans un plan, traçons une 

 droite L dans ce plan, et soit R l'une des deux régions du plan que limite 

 celte droite; nous regarderons les points de la droite limite L comme ap- 

 partenant à la région R. 



» Théorème. — Si r équation J{z) = o a tons ses jioinls-racines dans la ré- 

 gion R, la déi ivée f [z] aura elle-même tous ses points-racines dans la région R, 



» Observons d'abord que s\J{z) a une racuie nuiliiple d'ordre p,J'[z) 

 admet cette même racine p — i fois, et par conséquent celle racuie de/'(z) 

 est bien dans la région R; dès lors, nous n'avons à nous occuper que des 

 racines dey'(z), distinctes de celles (\ej[z), c'est-à-dire de celles qui rendent 

 nulle la dérivée logaritbmique 



7ÏZ) ~ ^ ■' z r- a ' 



Nous écrirons cette dérivée simplement \ _ . en faisant rentrer x lois 

 le terme \ sous le signe 1; on a alors 



f'I z] 



» Pour une racine de 4^' o» tloil avoir simultanément 



» 



:r — «1 



Ip 





'^-«)^+(j-,e) 



o. 



Pour fixer les idées, nous supposerons que le point zéro appartient à 



la région R. 



•> Soit X costp -r-j'sinçp — p = o l'équation de la droite limite L; j'ajoute 



les équations (i) et (2) respectivement niullipliées par cos'^ et siii'^j; j'ob- 



1 /'(^^ , I- • 



tiens pour un pou'*^ — 



^ > 2j' ' (x-«)^-H(j-(3')^- ^ ="*^' 



l'expression — (acosç? -f- /3 sin(p — /;) représenle la distance changée de 



