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 signe du point ( a, /3 ) à la droite L ; cette quantité, si elle n'est pas nulle, a 

 donc le signe de h p (ce serait le signe contraire, si R ne compren.iit pas 

 11' point zéro), car le point (a, (3) appartient à la région R. 



') Quant à l'expression iccosç) + y sinœ — p, elle aura aussi le signe de 

 \- p pour tous les points (a:, j) situés hors de R ; donc, pour ces points du 

 plan, le premier membre de l'équation (3') se compose de termes tous de 

 même signe; il est donc impossible ciu'elle soit satisfaite potu' ces points. 



f'[z] 



» Les points-racines de -j^ sont donc tous dans la région R. 



>■ 2. A.ppe\ons polj-gone des racines def[z) le polygone convexe P, dont 

 les sommets sont des points-r.u iues, et qui contient à son intérieur ou sur 

 son contour toutes les racines de réquationy(s) = o; on a le corollaire 

 suivant : 



>i Les racines de J'{z) = o seront toutes à rintérieur ou sur le contour du 

 polygone P. 



» Il suffît pour le voir d'appliquer le théorème du n° 1 successivement 

 à chaque côté du polygone P. 



n 3. Remarque importante. — Le théorème du n° 1 et sa démonstration 

 s'appliquent sans aucune modification aux fonctions qu'on a appelées lio- 

 lomorphes du genre o, et qui sont de la forme 



'W = ='n(--r,)- 



» ïc'Xl('~ w ^^'' ""P''°<^"i' f^'u" "O'»'^''^ i"fi"i de facteurs; les quan- 

 tités a doivent être telles que la série > — ^ — soit convergente. 



^ Z^ mod. a o 



» Corollaire I. — Si J[z) = o a toutes ses racines à l'intérieur d'un con- 

 tour ouvert et convexe^ polygonal ou courbe, il en est de même de 



« Corollaire II. — Sïf{z) = o a toutes ses racines entre deux droites pa- 

 rallèles, il eu sera de même de f'{z) = o. » 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Conditions d'équilibre d'une lame liquide 

 soumise à des actions électromagnétiques. Note de M. G. Lippmann. 



« Lorsqu'un liquide, parcouru par des courants électriques, se trouve 

 en même temps soumis à l'action d'aimants disposés à poste fixe dans 

 son voisinage, il naît des forces électromagnétiques qui tendent à dé- 



