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ALGÈBRE. — Examen de deux points de doctrine relalijs à la Pègle de Newton. 

 Conclusions; par M. E. de Jonquières, 



« I. Afin que rien de vague ne subsi^le sur ce sujet, il convient d'exa- 

 miner s'il est vrai, comme paraît l'avoir cru Newton, que sa Règle manque 

 rarement à indiquer le nombre total des racines imaginaires d'une équation 

 numérique donnée. 



» Soit 



(E) /{x') = A„^"'+ A,a>"'-' -H . . . + A,„_,x= +• A„,,, x ^- A,„=: o 



l'équation proposée, où tous les coefficients A,, sont des nombres réels 

 donnés, à l'exception du dernier A,„ que, pour le moment, nous laisse- 

 rons indéterminé. DésignoDS, en les rangeant selon l'ordre de grandeur 

 numérique, par -I- Z, -h/', ..., + L les valeurs positives, et par — A, 

 — X', ..,, — A les valeurs négatives que prend la fonctiony(>r), lorsqu'on 

 y remplace x par les valeurs des racines réelles de la dérivée J ' [x) = o. 

 L'équation (E) acquerra ou perdra deux racines réelles, chaque fois que 

 le terme A,„ dépassera, positivement ou négativement, les valeurs succes- 

 sives /,/',..., X, X', .... Enfin, si A,„> -f- L ou <^ — A, elle n'aura plus, 

 pour /« impair, qu'une seule racine réelle; pour m pair, que deux racines 

 réelles dans le premier cas et aucune dans le second. 



La supposition de Newton ne se confirmerait donc que si sa Règle pou- 

 vait se plier à toutes ces variations successives, produites par celle du seul 

 terme A,„. Or on comprend a priori qu'elle ne saurait, en général, posséder 

 une telle flexibilité, puisque, dans les conditions précitées, elle ne dispose 

 à cet effet que de deux éléments variables pouvant influencer le signe de 

 la pénultième fonction quadratique de la suite (Go), savoir le signe et la 

 valeur numérique de A,„. Au reste, j'en vais donner une démonstration fort 

 simple, suivie d'exemples qui la rendront aussi claire qu'il est possible. 



» IL ÏHÉORKME. — Quel que soil le nombre exact ik des racines imagi- 

 naires de l'équation pr'oposée, si la Règle de Newton en indique 20 pour cette 

 même équation, loisquon laisse A,„ indéterminé, donc aussi l' avant-dernier siqne 

 de la suite (Gq), elle en indicjuera 2 au moins, e< 2 p + 2 au plus, lorsqu'on attri- 

 buei'a au dernier terme A,„ des valeurs comprises entre — ( A + s) e< (L -+- s), 

 £ étant une quantité positive, aussi petite ou aussi grande qu'on voudra. En 

 d'autres termes, ses indications varieront, au plus, de deux unités, quelle que soil 

 la valeur de A,„. 



