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» En effet : 1° si l'avant-clernière des fonctions quadratiques (G„) 



''•/n-l '•m-2 ^!ri~3 -^m-l 



est négative, la suite (Gj) ne pourra, quel que soit A,„, acquérir en plus au- 

 cune variation, quel que soit le signe de la dernière fonction quadratique 



^/n-l -'^ôi-i — A,„_2 A 



m 9 



car les trois derniers signes de cette suite seront —,-+-, + si elle est posi- 

 tive, et —, —, -f- si elle est négative, ce qui ne fait toujours qu'une seule 

 variation. 



» Par conséquent, In Règle indiquera, dans !'un comme dans l'autre 

 cas, les 2 p racines imaginaires qu'elle indiquait déjà d'après les m premiers 

 termes de l'équation, indépendamment du dernier terme A,„, et pas davan- 

 tage. 



» 2° Si, au contraire, la pénultième fonction quadratique est positive, 

 et que la dernière soit négative, ce qui exige que les coefficients A,„_2 

 et A,„ aient le même signe et, en outre, qti'on ait 



^i),-l ^'ni-[ 'C A,„_2 A,„, 



les trois derniers signes de la suite (G,,) seront -f-, — , -t-. Cette suite aura 

 donc acquis deux variations de plus, et le nombre des racines imaginaires 

 indiquées par la Règle sera accru de deux unités : de 2(3 il s'élèvera 

 à 2p H- 2. 



» Le théorème est donc démontré, et la conséquence en est évidente, 

 d'après ce qui a été dit à ce sujet, § I, pour ce qui touche la sitgçieslion de 

 Newlon. 



» Soit, comme exemple du premier cas, l'équation 



ic' - .x''' + 4*"' — X ■' — x'-' -r- ■•»•■ — a; ± A, = o. 



» On a, dans la suite (G„), les signes 



-(-— + + + -±4- 



l'avant-dernier restant ambigu, à cause de l'indéterm nation de A-. Quels 

 que soient le signe et la valeur donnée à ce dernier terme, que ce soit, en 

 conséquence, le signe + ou le signe — qui prévale sous le pénultième 

 terme — jc, la suite (G„) n'aura jamais que les quatre variations déter- 

 minées par les sept premiers termes de l'équation, sous le dernier desquels 

 on aurait alors, conformément aux prescriptions de la Règle, écrit le 



