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signe +. Celle-ci n'imliqueta doiiL' jamais que quatre racines imaginaires, 

 quel que soit A^. 



» Comme exemple ilu deuxième cas, soi! donnée l'équalion 



x' — .v" -h lix'' — x'' + t ' + 5x- — X ± A, =: O 



suite (Go) +— + — -+- + ± + 



» La Règle indiquera quatre racines imaginaires si A,, quelle que soit sa 



valeur numérique, est négatif, ou s'il est positif, uiais <[ tt^; mais elle en 



indiquera six, si A, est positif, et >ôë' 



» III. Il ne reste plus qu'un pointa examiner: Peut-il arriver (jue la 

 limite inférieure indiquée par la Règle de Descartes pour le nombre des racines 

 imaginaires soit plus haute que celle indiquée par la Règle de Newton ? 



>) La réponse à cette question est négative. 



» D'abord la chose est évidente, si l'équation est complète. Car la Règle 

 de Descaries imliquant, dans ce cas, la possibilité de m racines réelles, 

 assigne zéro comme limite inférieure du nombre des racines imaginaires. 

 Dans ce cas, au contraire, la Règle de Newton, faisant intervenir les valeurs 

 respectives des coefficients, peut en indiquer un nombre plus ou moins 

 grand. J'en ai cité assez d'exemples pour qu'H soit inutile d'insister. 



» Il suffit donc d'examiner le cas où l'équation est incomplèle. En pre- 

 mier lieu, supposons qu'il manque 2?i -\- \ ou 2« + 2 termes entre deux 

 termes de même signe; la Règle de Descaries indique que, de ce fait, l'équa- 

 tion a an moins 2?z + 2 racines imaginaires. 



» La Règle de Newton fait connaître aussi que, de ce seul fait, l'équation 

 a au moins 2« 4- 2 racines imaginaires, sans compter celles qu'elle peut lui 

 attribuer en sus, eu égard aux termes qui précèdent ou qui suivent les 

 termes manquants. 



» 1" Soit, par exemple, /z = i ; il manque trois ou quatre termes entre 

 deux termes de même signe : 



Signes de l'équation .. . j „ ( + + o " o + / La Réulo de Newlon iiuli(|ue donr, rien que 

 Signes de la 'suite (G„). I ' I + 4- — -(- — + j pour ces seuls termes, 2 + 2 ou 4 ima!;inaires. 



Signes de l'équation. . . ] ( + — o o o — / 

 Signes de la suite (Gy ) . 

 Signes de l'équation. . . 

 Signes de la suite (Go) . I 3° 



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