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 suivant : Etant donnée une équation à p points singuliers [non apparents), 

 trouver toutes les fonctions rationnelles <p{t), telles que, en faisant le changement 

 de variable X =^ cp{t) dans celte équation et en multipliant les intégrales par une 

 Jonction convenable de t, la nouvelle équation ait seulement q points singuliers 

 non apparents. 



» Soient r/,, a^, . . . , Up \es p points singuliers rion apparents de l'équa- 

 tion (i); a,, c/..^, . . . , «^ les q points singuliers non apparents de la nouvelle 

 équation, et p.,, [j.^, ..., /^/.^ les /? nombres entiers positifs, supérieurs à 

 l'unité, qui dépendent des coefficients de la première équation. En étu- 

 diant l'effet du changement de variaMe .r = (p[t) sur l'équation proposée, 

 on reconnaît aisément que la fonction (p{t) doit jouir des propriétés sui- 

 vantes ; l'ordre de multiplicité des racines de l'équation (p{t) = ai 

 (/ = 1, 3, . . . , p), qui n'ont aucune des valeurs a,, «o, . . • , c.,/, doit être 

 égal à fj., ou à un multiple de pi. Ceci entraîne, poin- la fonction .r := (p{t), 

 p — I expressions de la forme suivante : 



(4) x_.,-"'(^^)^' 



en supposant /j = x ; II, désigne un produit de la forme TT(' — «a)''. pI 



P, un polynôme de degré «,. Soient Nj- le degré de U, et D le degré de 

 o(/'); on aura les relations 



(.5) D = N, + «,/x,-, (/= I, 2, ...,/5), 



auxquelles il faut joindre la relation 



(6) ^fp, ~ l)^^+^N, - y + A := 2D - 3 

 1=1 / = 1 



et l'inégalité 



(7) SN'- = '/- 



1=1 



» La formule (6) n'est autre chose que la formule de Riemann donnant 

 le genre d'une courbe algébrique appliquée au cas particulier de la fonc- 

 tion t de X, définie par l'équation x = '^{t). Les équations (5), (6), (7) 

 contiennent, comme indéterminées, les nombres N,, D, A et certains des 

 nombres n,, les autres devant être nuls, et les valeurs correspondantes du 

 nombre [a, étant arbitraires; A est un nombre entier positif ou nul dont 



