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 dans les recherches originales et dans l'enseignement ('). Toutefois les 

 progrès considérables accomplis dans cette branche de la Science par ces 

 grands géomètres et par leurs successeurs n'ont pas ôté leur à-propos aux 

 méthodes et aux procédés, arithmétiques et graphiques, ayant pour objet 

 la discussion ou la résolution des équations numériques, auxquelles abou- 

 tissent, en définitive, les recherches des astronomes, des physiciens, des 

 statisticiens, des ingénieurs, etc. Quelques auteurs n'ont pas négligé de 

 poursuivre parallèlement, à notre époque, le perfectionnement de ces 

 méthodes et l'invention de ces procédés. Parmi ces derniers, je n'omettrai 

 pas de citer la méthode et les abaques de notre savant et ingénieux con- 

 frère M. Léon Lalanne, qui ont fait l'objet de rapports et d'articles dans 

 les Comptes rendus de l'académie des Sciences, notamment dans les 

 Tomes LXXXI et LXXXII. 



» Le travail dont j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à l'Académie 

 la première Partie prend aussi son point de départ dans quelques considé- 

 rations très simples de Géométrie, mais elle n'a pas pour objet principal 

 la résolution graphique des équations. Son caractère est plutôt celui d'une 

 vue d'ensemble sur leurs propriétés générales et sur les affections auxquelles 

 elles sont sujettes et d'une méthode intuitive de discussion. 



» IL Pour procéder méthodiquement dans cette étude et me placer 

 dans les conditions qui sont, comme on le verra, les plus favorables à un 

 tel examen, il convient de négliger d'abord le dernier terme Ao de l'équa- 

 tion proposée, en le laissant indéterminé, et même de commencer par le 

 supposer nul. Il faut ensuite égaler à j- l'ensemble des autres termes qui 

 dépendent de x, et représenter par une courbe la fonction 



j =J\x) = x'"-4- A„_, j:'"-' -h.. .-!- A;.x^-f-, . .+ Ao.r^ + A^x, 



dans laquelle je suppose essentiellement que le terme en x'" a l'unité pour 

 coefficient. 



» De la sorte, la courbe passe par Yorigine des coordonnées, ne peut 

 être rencontrée qu'en un seul point par une parallèle à l'axe Oy et affecte 

 deux caractères bien tranchés, selon que m est impair ou pair (^). 



» III. Equations de degré impair m = 2 |jl + i . — Su|iposons d'abord que 



(') L'excellent Traiu^ (l'Algèbre de M. J. Bertrand est un des rares Ouvrages élémen- 

 taires de notre époque où il soit dérogé parfois à cet usage. 



[^) Le cas de to fractionnaire n'est pas formellement exclu, mais il réclame un examen à 

 part, 



