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 savoir : à gatiche si A^ est positif, à droite s'il est négatif. I.a tangente 

 en O est l'axe Ojc, si /\> i . Lorsque /' = i, cette tangente s'incline ri'un 

 angle dont l'expression a été donnée ci-dessus par sa tangente trigonomé- 

 trique. 



M Si m est impair, et A^ positif, il se forme, à gauche de l'origine, un 

 feston situé au-dessus de Oa:; pour A^ négatif, le feston est situé en de^slls 

 et à droite. Dans les deux cas, l'axe Ox touche, en O, la courbe qui ne 

 s'infléchit en sens inverse qu'au delà de ce point. 



» De ce qui précède, on conclut d'abord que : 



» Une équation trinôme (quels que soient les degrés jh et r des deux 

 termes en x) a, au plus, (jwdre racines réelles si m est pair, et trois si ni at 

 impair. Elle peut d'ailleurs avoir toutes ses racines imaginaires (ou toutes moins 

 deux) dans le premier cas, et toutes moins une dans le second cas. 



» On voit ainsi quelle est, à cet égard, i'iiifliieuce des termes qui 

 manquent dans l'équation. 



» VIII. Lorsqu'il se forme un feston, Vamplitude OD et \sijlèclie nuixi- 

 muiu BC de cette sorte de trajectoire dépendent de la valeur numérique du 

 coefficient A^ et aussi des valeurs m et de r. Or, c'est aussi de In grandeur 

 de cette flèche que dépendent les limites qui ruarquent le passage entre la 

 réalité et l'imaginarité des racines, puisque c'est elle qui borne sous ce 

 rapport le mouvement de transport horizontal de l'axe O^, c'est-à-dire les 

 valeurs du terme A, indépendant de x. On va voir qiie ces simples con- 

 sidérations de géométrie intuitive conduit^ent iiuuiédiatement aux condi- 

 tions algébriques auxquelles les coefficients d'une équation trinôme, d'un 

 degré quelconque, doivent satisfaire pour que l'équation ait le nombre 

 maximum des racines réelles qu'elle puisse posséder. 



» Soit, en effet, x'" — px''-h-q=^o l'équation proposée ('). Si l'on 

 pose 



/ =/[x) = x'"— px'', 



on trouve, par un calcul facile, pour l'expression le la flèche BC de l'un 

 quelconque des festons dont il s'agit, 



BC 



^^ m' 



(') 1! n'y a p.is lieu, comme le [irouvc rexaiiien du premier cas ei-dessiis, de supposer 

 ((ue p soit positif, car il n'y a alors ni l'cilons, ni par suite d'accroissement jjossible dans le 

 nombre des racines léelles. 



