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 aux ii)tégrales elliptiques. M'appuyant sur un théorème de M. Weierstrass, 

 je supposerai que le tableau des périodes normales de ces intégrales s'écrit 



I o o G A o (pourri), 



o I o A G' H (pourj;..), 



o o 1 o H G" (pour ^3), 



7t étant commensurable. 



» Je dis que si l'intégrale «J'i -(- p J'^. + 7^3 est réductible, il en sera 

 de même de vaj', 4- /3 j .,+ yj'j (v étant un nombre couimensurable 

 quelconque). 



» En effet, les périodes de l'intégrale o.y, + ^y.^ h 7/3 s'écrivent 



sr, 



1^' 



OT, = Ga4-Aj3, ra^= //a + G'/3 + H7, n„=H]S + G"7. 



» Pour que l'intégrale soit réductible, il faut et il suffit que ces périodes 

 se réduisent k deux, c'est-à-dire qu'il y ait entre elles quatre relations 

 linéaires à coefficients commensurables de la forme 



(i) A,-37| + B,cr2-I-C,ST3+ A;.5r4 + B;7?5 + C;st,;= o (/ — • i , 2, 3, 4)- 



M L'intégrale vaj-, + Pj*2 + 7/3 a pour périodes 



7s\ = va, rs'.. = ^j, sr'., = 7, 

 7z\ =■ Gvx -+- h fi, zs'.. = hvx -f- G'jS -)- H7, <, = HjS 4- G"7. 



» Or les relations (i) peuvent s'écrire 



» ^"^ < , A' 



+ CiZa.. H ^ S7, + B, 57 + G' ST,, =: O. 



» 1! y a donc, entre les six périodes ts', quatre relations linéaires à coef- 

 ficients commensurables. Donc l'intégrale va/, -f- j3^o + 7/:, est réduc- 

 tible, c. Q. F. D. 



» On déduit aisément de là que, si le système d'intégrales du troisième 

 genre considéré contient plus de trois intégrales réductibles, il en contient 

 une infinité. Si les quatre intégrales ;',, y^, j.^ et a.j^ -H /3_^2 4- 7_/', sont 

 réductibles, il en est de même de Xa^', + ['■?-' Y 1 ■+" ^V/'a Q-, \^ et y étant des 

 coefficients commensurables quelconques). 



