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ANALYSE MATHÉMATIQUK. — Sur une équation analogue à ('é(juiition 

 de Kuinmer ( ' ). Note de M. E. Gours.vt, présentée par M. Hermite. 



« Des équations (5) et (6) on déduit d'autres formules qui conduisent 

 à des conséquences intéressantes : par exemple, en éliminant D, on trouve 



(8) ^[in^- - ') - 2.,]/»,+ {p - 2)( ^N, - V ) = 2(ry - p) - Ap. 



On en déduit sans peine que, si /; > 4, o" «'"'a forcément cj'^ p,'n moins 

 que la substitution ne soit linéaire. Si p = 4» on aura q > 4, sauf le cas où 

 l'on aurait [j., = [u = [j.3 = jx^ = 2, 2N, = 4» ft alors la transformation sera 

 précisément une transformation de Jacobi. En supposant p = q = 3, on 

 retombe sur l'équation de Ruminer. Ce sont là les seuls cas où l'on ait 

 q = p, en faisant abstraction de la substitution linéaire. 



» En éliminant «,, «,, . . ., /?p_, et D, on parvient à la nouvelle formule 



'p- 



î = ;» - 1 / I = ;; - 1 



(9) S^^^^^-^- i;p-r""'^n''~'"S^r^^^~" 



:1 



Si /; — 2 — \ — est positif, le premier membre étant une somme de quan- 



1 = 1 



tités positives, on voit que les nombres N,, ?i,, A auront tous des limites, et 

 par suite le système d'équations proposées n'aura qu'un nombre limité de 



solutions. Les seuls cas où l'on ait p — 2 S \ — sont, outre le cas que nous 



i = l ' 



venons de citer, les sept cas connus qui correspondent à /; — 3; il est à 

 remarquer que dans chacun de ces cas l'intégrale générale de l'équation (i) 

 s'exprime au moyen des fonctions algébriques, simplement périodiques ou 

 doublement périodiques; par conséquent, en dehors de ces huit cas par- 

 ticuliers, les fonctions rationnelles conduisant d'une équalion à p points 

 singuliers non apparents à une équation ayant q points singuliers non ap- 

 parents appartieniienl à un nombre timilé de types différents. 



» On peut faire l'application de ces recherches à l'étude des intégrales 

 algébriques des équations linéaires du second ordre. On sait, en effet, 



Comptes lendui, séance du lo noveiiibie 1884. 



