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 d'après un beau résultat obtenu par M. Klein, que toutes ces équations 

 peuvent se déduire par un cbangenient de variable de la forme précédente 

 d'iuie des quatre équations de la série hypergéoméirique auxquelles on a 

 donné le nom des quatre types de corps réguliers. 



» Supposons, par exemple, que l'on veuille savoir si une équation 

 linéaire du second ordre peut se déduire de cette façon de l'équation de 

 l'icosaèdre régulier. Il faudra d'abord que cette équation n'admette pas de 

 points singuliers logarithmiques; >|ue les exposants de discontinuité des 

 intégrales dans le domaine de chaque point critique soient couimensu- 

 rables et, en outre, que la différence des exposants relatifs à un même 

 point, réduite à sa plus simple expression, ait pour dénominateur l'un des 

 nombres 2, 3, 5; admettons de plus, pour fixer les idées, que l'équation 

 n'ait pas de points singidiers apparents, [.es équations (5) et (6) deviennent 



1) = N, + 2//, = N2 + 37i2 = N3-t- 5«;,, 



7/, -+- 27/,— -'17734- N, -I- N2-I-N3— f/ = 2D— ■?., 



N,, No, N;, étant fournis par l'équation proposée, et ces équations devront 

 fniunir pour 77,, 77,, 7/,, D des valeurs entières et positives. S'il n'en est pas 

 ainsi, H sera inutile de continuer le calcul. Si cette cojidition est remplie, 

 la détermination de la fonction o{t) dépend de calculs algébriques où il 

 n'entre rien d'arbitraire, et l'on aura même, si q est supérieur à 3, un 

 nombre d'équations supérieur au nombre des inconnues. Enfin, si ces 

 équations admettent une solution commune, la fonction rationnelle ainsi 

 obtenue sera la seule qui puisse répondre à la question, et il n'y aiuM plus 

 qu'à examiner si elle satisfait à l'équation (3). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur lin théorème de Jacohi relatif à la décomposition 

 d'un nombre en quatre carrés. Note de M. M. Weill. 



« Jacobi a démontré, au moyen des fonctions elliptiques, que le nombre 

 des décompositions en une somme de quatre carrés, tous impairs, du quadruple 

 d'un nombre impair, est double du nombre des décompositions de ce même 

 nombre en quatre carrés. 



» Ce résultat peut s'établir directement à l'aide des considérations sui- 

 vantes : 



» 1° L'entier N quelconque étant mis sous la forme x- -hj- -+■ ='" -H t^, 

 il existe deux modes de décomposition, et deux seulement, de 4N, en une 



