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 somme de carrés de quatre nombres, dont chacun est une fonction linéaire 

 et homogène, à coefficients entiers, de jc, j-, z et t. Ces deux modes de 

 décomposition sont fournis par les identités suivantes : 



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4N = {œ-hj--i-z—t)--h{x-hj — z + tY-i-{x—;^--j-z + tY+{x—)- — z — t)^. 



» Pour démontrer que ces denx modes de décomposition sont les seuls 



qui satisfont aux conditions imposées, il suffit d'observer que chacune des, 



fondions linéaires doit contenir les quatre lettres x, y, z, t avec les coefficients 



+ I ou ( — i); une analyse bien facile montre alors de quelle manière ces 



coefficients sont distribués, 



» 2" Etant donnés cinq nombres impairs A, B, C, D, N, vérifiant l'égalité 



A'' + B^+C^ + D= = 4N, 



il existe des entiers ,t, jr, z, /, vérifiant les équations 



X -\-y + z -\~ t = A, 

 X 4-7— z — t =B, 

 X —y — z -\- t =C, 

 a- — 7 -+ z — / = D, 



a;^ + 7* -f- z- -\- t"^ — N. 



Il existe, en outre, quatre nombres impairs E, F, G, H, vérifiant les éga- 

 lités 



E^ + F2+G= + H= = /,N, 



JT +;>■+;: — / = E, 

 .T -H ;■ — z + / =r F, 

 X— y-^z-\-t — G, 



X — J — z — tz=\{. 



Dès lors, à chaque décomposition de N en quatre carrés, x, y, z, t, corres- 

 pondent deux décompositions de /jN en une somme de quatre carrés, tous 

 impairs, 



4N = A- + B^+C= +D% 



4N =E''-t-F^ + G-^-H^ 



D'ailleurs, si N a été décomposé de deux manières différentes en une 



