( 86i ) 

 somme de quatre carrés, les deux décompositions de 4N, correspondant 

 à la première manière, seront nécessairement différentes de celles qui cor- 

 respondent à la deuxième manière; donc, enfin, le nombre des décompo- 

 sitions de 4N est hien double du nombre des décompositions de N. 



» Des considérations analogues permettent d'obtenir d'autres réstdtals 

 relatifs à la décomposition d'un nombre en quatre carrés, et notamment le 

 suivant : 



» N élant un entier quelconque, le nombre des décompositions de 3N en une 

 somme de quatre cariés quelconques est quadwple du nombre des décomposi- 

 tions de N en une somme de quatre carrés. 



» Pour le démontrer, considérons les relations, en nombres entiers, 



en désignant par s,, Eo, ... l'unité positive ou négative. Si l'on donne les 

 entiers A, B, C, D vérifiant l'égalité 



k- + K- + V?-^ 0=»= 3N, 



il existera toujours des entiers x,jr, 3, t vérifiant toutes les relations indi- 

 quées; on s'en assure en résolvant les équations linéaires en x, y, z, t et 

 faisant sur A, B, C, D, relativement au diviseur 3, les hypothèses pos- 

 sibles. Dès lors, en faisant sur x^j\z, t une permutation circulaire, on 

 voit qu'à un système de valeurs A,B, C, D correspond un système de va- 

 leurs x,y, z, t, lequel engendre trois nouveaux systèmes de valeurs des 

 entiers A, B, C, D. Donc, à chaque décomposition de N, en correspondent 

 quatre du nombre 3N. » 



MÉCANIQUE. — Sur les lois du frottement. Note de M. Marcel Dcprez. 



« La partie purement mécanique d'une des machines réceptrices des- 

 tinées à l'expérience de transmission électrique de la force qui aura lieu 

 prochainement entre Creil et Paris ayant été terminée il y a quelques jours, 

 j'ai dû procéder à sa réception, c'est-à-dire constater qu'elle pouvait 



