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ALGÈBRE. — Sur la résolution générale de l'équalion linéaire en matrices 

 d'un ordre quelconque. Note de M. Sylvester ('). 



« C'est dans \es Lectures, publiées en 1844, que pour la première fois a 

 paru la belle conception de l'équation identique appliquée aux matrices 

 du troisième ordre, enveloppée dans un langage propre à Hamilton, 

 après lui mise à nu par M. Gayley dans un très important Mémoire 

 sur les matrices dans les Philosophical Transactions pour 1837 ou i858, et 

 étendue par lui aux matrices d'un ordre quelconque, mais sans démonstra- 

 tion; celte démonstration a été donnée plus tard par feu M. Ciifford (voir ses 

 œuvres posthumes), par M. Bucklieim dans le Matliematical Messenger 

 (marchant, comme il l'avoue, sur les traces de M. Tait, d'Edimbourg), par 

 M. Ed. Weyr, par nous-mème, et probablement par d'autres; mais les 

 quatre méthodes citées plus haut paraissent être tout à fait distinctes l'une 

 de l'autre. 



)i Par le moyen d'une chaîne de matrices couplées (disons N), opérant 

 non pas sur une matrice générale, mais sur une matrice jc (disons du 

 degré w) d'une forme spéciale suivie par un autre opérateur V qui aura 

 l'effet de réduire la matrice du degré w de ^x (dont les éléments sont des 

 fonctions linéaires des éléments de x) à une forme identique à celle de x, 

 il est facile de voir qu'à l'opérateur composé VN on peut faire corres- 

 pondre une matrice d'un ordre quelconque non supérieur à q*, et c'est ainsi 

 virtuellement que Hamilton, à cause d'une transformation qu'il effectue 

 sur l'équation linéaire générale, est tombé dans ses Lectures sur la matrice 

 du troisième ordre, et ce n'est que dans les Eléments publiés en 1866 

 (après sa mort) qu'on trouve quelque allusion à l'équation identique pour 

 les matrices du quatrième ordre. 



» On pourrait nommer l'opérateur composé VN, pour lequel l'équation 

 identique est d'un degré moindre que co-, nivellaleur qualifié, mais il est es- 

 sentiel de remarquer que ces opérateurs ne posséderont pas les propriétés 

 analogues à celles des matrices que possèdent ces nivellateurs purs dont il 

 est question dans ma méthode. Comme exemple d'un nivellateur qualiBé, on 

 pourrait admettre que le a; (matrice du deuxième ordre), sur lequel opère 

 le N, aura son quatrième élément zéro, et que l'effet du V sera d'abolir le 

 quatrième élément dans Na;, où l'on peut supposer (et cette supposition est, 



(') Suite de la Communication du 1°'' septembre, p. 4o9- 



