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 cas général, l'équation de la sointive, si l'on pose n = m — r, est 



(5) n"i''x'" - in'"j" — o 



et résulte de l'élimination de s entre la proposée et sa dérivée 



mz"'~* — rxz'^'^* = o, 



qui se réduit à 



nt z" — i\v = o . 



» Suivant que le premier membre de (5) est plus grand ou plus petit 

 que zéro, on obtient le maximum ou le minimum des racines réelles pos- 

 sibles. 



)i II est facile de voir que l'équation (5) dans le cas de mêmes parité, m 

 et /' étant impairs et par conséquent n pair, représente une courbe symé- 

 trique par rapport à l'axe des jc, analogue à la parabole demi-cubique 

 décrite ci-dessus comme la représentation de 



4x'-+- ^•^j- = o, 



et qu'elle ne comporte que trois tangentes au plus menées d'un point inté- 

 rieur; que toujours dans le cas de même parité, m et r étant pairs, ;" est 

 de degré pair, et que la soliitive, symétrique par rapport à l'axe des jr, est 

 toujours tangente à l'axe des x à l'origine, et ne comporte que deux tan- 

 gentes, et par conséquent deux solutions numériquement différentes. 

 » Si la proposée peut se mettre sous la forme 



Z^^ — xz-^ -H J = o 



en posant 3^1^= ii, on aura à résoudre 



ii'^ — xu +7" = o, 



équation qui, pour toute valeur positive de x, a deux racines positives, 

 pourvu que la relation 



soit satisfaite. 



» A cbacune de ces deux valeurs de u correspondent pour z deux 

 valeurs égaies et de signes contraires données par 



z = ± \ju. 



» Donc, une équation trinôme à puissances paires de l'inconnue peut 

 comporter quatre racines égales deux à deux et de signes contraires. Lors 



C. R., iSS4, 2' Semestre. (T. XCIX, N° H.) ^3 



