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 même que le rapport de m à r est impair, comme dans l'équation 



.2 



z° — xz' + y = G, 



on obtient encore quatre racines égales deux à deux et de signes contraires 

 en posant z- = ii, car l'équation du troisième degré 



U^ — XII -{- j = o 



a ses trois racines réelles, dont deux positives, x étant positif, pourvu que 

 l'on ait 



— 4«'+ 27j^>< o. 



» On voit, par ce qui précède, combien la considération de la solutive 

 peut être utile, non pas seulement pour la résolution numérique des équa- 

 tions, mais pour la recherche de leurs affections, comme le dit justement 

 M. de Jonquières avec les anciens géomètres. Ainsi se trouve justifiée l'as- 

 sertion que j'énonçais en commençant, que, tout en ayant pour but de 

 résoudre les équations numériques, la méthode que j'ose signaler de 

 nouveau à l'attention peut être un instrument de recherches théoriques. 

 Il faut d'autant moins s'en étonner que, le second membre de l'équation 

 de la solutive étant zéro, le premier membre n'est autre chose que le discri- 

 minant du premier membre de l'équation générale (i) remise sous la forme 



z" + az"-' -h bz"-^ + . . . + rz- -\- sz-h t = o, 



discriminant qui est une fonction déterminée des coefficients a, b, . . ., r, 

 s, t; mais qui devient une fonction à deux variables par la substitution 

 de ce k s et àe j a i , fonction dont l'importance est depuis longtemps 

 connue dans la théorie des équations. 



» En résumé, en arrivant par une autre voie que M. de Jonquières aux 

 mêmes résultats, je propose d'énoncer sa proposition finale d'une manière 

 un peu différente de la sienne en ajoutant : lorsquune équation trinôme a 

 quatre racines réelles, ces racines sont deux à deux égales et de signes contraires; 

 et ta réalité des racines exige que les coefficients x et j- dans le trinôme 



satisfassent à une condition d'inégalité dont le premier membre est le discrimi- 

 nanl en x et y de ce trinôme, et le second membre zéro, le terme — xz'' étant 

 d'ailleurs réellement négatif, 



» C'est à Gauchy que l'on doit d'avoir signalé la possibilité d'appliquer 



