( 470 ) 

 une précédente Communication (') conduit très simplement au théorème 

 suivant : 



;) Théorème. — Le nombre maximutn de racines réelles que comporte une 

 équation algébrique, donnée d'espèce (où les valeurs numériques des coef- 

 ficients restent seules à déterminer de (açon que ce maximum soit réalisé), 

 est invariable. 



» En d'autres termes : 



» Toutes (es équations akjébriques qui appartiennent à une même espèce, quel 

 que soit leur degré j ont le même nombre maximum de racines réelles. 



» Ce ihéorème, très général, n'a, que je sache, encore été donné par 

 aucun auteur (-). 



» X. D'après cela, il est facile de dresser,une fois pour toutes, pour chaque 

 classe d'équations (la classe étant caractérisée par le nombre seu/ des termes), 

 un tableau présentant synoptiquement les nombres maxima des racines 

 réelles (même distinguées en positives et en négatives), relatifs à toutes les 

 espèces d'équations comprises dans cette classe lorsqu'on y effectue toutes 

 les combinaisons possibles de parité entre les exposants et de signe entre les 

 coefficients. De tels tableaux offrent des sujets de comparaison instructifs 

 ou au moins intéressants et peuvent simplifier les recherches dans cer- 

 taines applications, où il suffirait de connaître le nombre maximum des ra- 

 cines réelles possibles; car ih épargneraient alors au calculateur la discussion 

 parfois délicate à laquelle l'entriùiierait l'emploi exclusifdes considérations 

 algébriques. 



» Je donne ci-après, comme exemple et in extenso, le Tableau relatif 

 aux équations à quatre termes. Il n'en coûterait qu'un peu plus de travail 

 matériel, à cause du nombre croissant des combinaisons, pour dresser 

 ceux des équations à cinq, six, etc. termes ('). Il est bien entendu que 

 les valeurs numériques des coefficitnls doivent, dans chaque cas, satisfaire 

 à la condition de donner à l'équation (de l'espèi e que l'on considère) 

 le plus grand nombre de racines réelles compatible avec ses autres élé- 

 ments. 



H Dans le cas particulier où les exposants m, r, s d'une équation à 



(') Voir Comptes rendus du aS îinûl, ]>. 345. 

 [-) Du moins e.Nplicitement. 



(') Je donnerai, une autre fois, (]uel(jucs spécimens de Tableaux analogues pour des 

 équations composées de plus de quatre termes, l'espace faisant ici défaut. 



