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quatre termes 



x'" -+- A,x'' + A, jr' 4- A 



sont en progression arithmétique r = s -h k,m = s -h 2k, on peut, en 

 posant II = j:*, ramener au calcul d'une simple équation du second degré 

 les abscisses des flèches des festons, d'où ces flèches elles-mêmes se dédui- 

 ront, et déterminer ainsi : d'une part, les relations que doivent avoir 

 entre eux les coefficients A^, A^, pour que les conditions de réalité des 

 racines propres à chaque cas soient satisfaites; d'autre part, les limites 

 entre lesquelles Ao peut osciller, sans que l'équation cesse de posséder le 

 maximum de ces racines que comporte son espèce; mais je ne m'arrête 

 point à ce détail. 



» XI. Il est à peine besoin d'ajouter que l'emploi de cette méthode (') 

 géométrique rend compte immédiatement, d'une façon qui parle aux 

 yeux, des changements produits dans le nombre et la nature des racines 

 réelles : par les changements de signe ou de grandeur apportés au terme 

 de l'équation qui est indépenrlant de la variable; par un accroissement 

 ou une diminution uniforme de toutes les racines; par leur multiplica- 

 tion ou leur division par un même nombre donné. Car ces effets corres- 

 pondent, respectivement, à une translation parallèle de l'axe des x, ou 

 de celui des y, à une augmentation ou à une diminution dans l'échelle de 

 la figure. 



» La liècjle des signes de Descartes, le théorème de Rolle et celui de 

 Budan-Fourier en sont pareillement des conséquences intuitives, que rend 

 plus évidentes, plus complètes encore à certains égards et plus précises, 

 l'examen des Tableaux précités. Le théorème ci-dessus (IX) résume 

 même, dans des cas étendus, la llègle de Newton. 



» XII. Je crois donc, ainsi que je le disais dès le début de ces Études, 

 que l'enseignement de la théorie des équations, au moins dans sa partie 

 élémentaire, ne peut que gagner à ce qu'on y admette plus fréquemment, 

 et systématiquement, des considérations de cet ordre. La fatigue de l'étu- 

 diant en sera diminuée, l'intérêt accru, la mémoire secourue et la clarté 

 même y gagnera pour tous. 



(') 11 y a peut-être de la liardiesse <à qualifier de méthode ce qui ne mériterait, aux 

 veux de plusieurs personnes, que le nom de procédé. J'y trouve pourtant une excuse dans 

 la facilité extrême qu'on y trouve pour découvrir ou condenser, sous une forme saisissante 

 de clarté, des résultats qu'on pourra sans doute maintenant tirer de spéculati(;n$ purement 

 algébriques, mais auxquels celles ci ne conduisent pas toujours d'elles-mêmes. 



